関数解析の諸定理

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関数解析の諸定理 - (2009/08/07 (金) 18:39:54) のソース

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== Arzela-Ascoliの定理 ==
 数列におけるBolzano-Weierstrassの定理（有界数列は収束部分列を含む）の，関数列版に相当する。
 Cauchyの折れ線近似を証明するのに使う。
 証明は対角線論法による。

 '''Th. Arzela-Ascoli'''
 <math>I \subset \mathbb{R} \mbox{ : bounded closed interval}</math>
 <math>f_n : I \to \mathbb{R} \mbox{ or } \mathbb{C}</math>
 <math> \{ f_n \}_{n=1}^\infty </math>が'''一様有界かつ同等連続のとき，一様収束する部分列がとれる。
 
 ここで，
 '''Def.一様有界'''
 <math>\ ^\exists M \ ^\forall n \ ^\forall x \in I \mbox{ s.t. } |f_n(x)| \leq M</math>
 あるいは，
 <math>\ ^\exists M \ ^\forall n \ \mbox{ s.t. } \sup_{x \in I}|f_n(x)| \leq M</math>
 
 '''Def.同等連続'''
 <math>\ ^\forall \epsilon >0 \ ^\exists \delta >0 \ ^\forall n \mbox{ s.t.}</math>
 <math>|x-y| < \delta \Rightarrow |f_n(x)-f_n(y)|<\epsilon</math>

 '''注.''' Riemann積分と極限の交換に関する'''Arzelaの定理'''とは別物
 '''Th. Arzela'''
 <math>f_n \in C(\overline{I})</math>
 f<sub>n</sub>が一様有界かつ，'''各点'''収束ならば，
 極限と積分の交換が可能である。即ち，
 <math>\lim_{n \to \infty}(R)\int_I f_n(x)dx = (R)\int_I \lim_{n \to \infty}f_n(x)dx</math>
 これはLebesgueの項別積分定理の特殊系である。

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== Weierstrass の多項式近似定理 ==
 「近似」なので，Taylor展開よりも強力なことを言っている。
 三角多項式全体は C(T) で稠密
 多項式全体は C[0,1] で稠密
 従って特に，それぞれ Lp (1≦p＜無限)で稠密
 ただし，TはR/Z= [0,1]の0と1を同一視した集合

== Stone-Weierstrassの定理 ==
 多項式近似定理の抽象化

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== Baire's Category ==
== Banach-Steinhausの定理（一様有界性定理） ==
== 閉グラフ定理 ==
== 開写像定理 ==

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== Hahn-Banachの定理 ==
 (次元を削った)部分空間上で定義されていたら，もとの空間に上手いこと拡張できる。