切断と引き込み

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切断と引き込み - (2011/12/24 (土) 13:59:38) のソース

 ''[[ファイバーバンドル]]についても参照''

==線形代数での例==
 レトラクションは、<math>v = \sum_{i=1}^m x_i v_i\in V</math>から
 ''いくつかの''(全てでなくて良い)成分ベクトル<math>(x_1, \cdots, x_n) \ (n \leq m)</math>を取り出す写像。
 射影っぽいけど、射影行列ではないことに注意。
 射影行列は成分ベクトルを与えるわけではなく、射影空間の元を与える。

 切断は、成分ベクトル<math>(x_1, \cdots, x_n)</math>を適当な空間の元<math>\sum_{j=1}^n x_i v_i</math>として実現する写像

 特異値分解に表れる
 列直交行列<math>U = [ u_1, \cdots, u_r ] \in \mathbb{R}^{p \times r}, \ U^* U = I_r</math>は、
 成分ベクトル<math>(x_1, \cdots, x_r)</math>に作用して
 p次元空間の元<math>\sum_{i=1}^r x_i u_i</math>を作り出すので、切断。

 これに対するレトラクションは共役行列<math>U^*</math>で与えられる。
 実際、これはp次元空間のベクトル<math>\sum_{i=1}^p x_i u_i</math>に
 作用して(単位ベクトルで内積をとるので成分が出てくる)、
 はじめのr個の成分を取り出して並べたベクトルを作る行列である。
 成分を取り出すだけなので、射影行列ではない。

 なお、<math>V V^*</math>はp次元空間の元<math>\sum_{i=1}^p x_i v_i</math>の成分を削って再び<math>\sum_{i=1}^r x_i</math>としてp次元空間の元に戻す写像であるから、これが射影行列である。

==自然な射影の切断==
 商集合X/~の自然な射影pとする。
 X/~の各類Aから一つの代表aを選んでくる写像sを，射影pの切断という。
 <math>\begin{tabular}{cccc}
 $s :$ & $X / \sim$ & $\to$ & $X$ \\
       & $\ni$ &     & $\ni$   \\
       & $[x]$ & $\mapsto$ & $x \in [x]$
 </math>

==全射と切断==
 切断は一般の全射に対して定義される。

 '''Lem.'''
 <math>f:X \to Y, \ g:Y \to X</math> map
 <math>f \circ g = \mathrm{id}_Y</math>
 このときfは全射で，gは単射である。
 また特に，<math>g \circ f : X \to X</math> は冪等 idempotent である。←つまり，射影である。

 '''Rem.'''
 上の定理の条件が成り立っているとき，f,gはsplit（分裂）であるといい，
 fをgのretraction（引き込み），gをfのsection（断面，切断）という。
 また，fはgの左逆写像，gはfの右逆写像ともいえる。

 この事実（f,g分裂⇒f全射かつg単射）の逆（f全射⇒g単射が存在して，f,g分裂）を示すには選択公理が必要
 '''Th. ''' 空でない集合X,Yに対し，<math>f:X \to Y</math> が全射であるとする。
 このとき，<math>f \circ s = \mathrm{id}_Y</math> なる<math>s:Y \to X</math> が存在する。
 つまり，全射に対して切断（右逆写像）は常に存在する。

 '''Cor. '''
 (i) sは単射
 (ii) さらに <math>s \circ f = \mathrm{id}_X</math> ならば，<math>s=f^{-1}</math>
 つまり，'''切断とはプレ逆写像'''とでも言うべきもの。逆像ではない。
 
 逆像との関係としては，次が成り立つ。
 <math>g(y) \in f^{-1}(y)</math>

 '''自然な射影の切断との関係'''
 f全射をとると，fによる同値関係~fが定義できて，商集合X/~fの自然な射影pに対して
 切断sを考えることができるが，これはfに対する切断s'と同一視することができる。

==単射と引き込み==
 先の定理の双対として，次が成り立つ。
 '''Th.''' 空でない集合X,Yに対し，<math>f:X \to Y</math> が単射であるとする。
 このとき，<math>r \circ f = \mathrm{id}_X</math> なる<math>r:Y \to X</math> が存在する。
 つまり，単射に対して引き込み（レトラクション，左逆写像）は常に存在する。