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内積一定という条件 - (2010/11/24 (水) 02:33:30) のソース
以下の制約条件を考える。
a, b : fix
<math>\mathbf{a} \cdot \mathbf{x} = b</math>
この条件で何かを考えることは、
次のような空間上で何かを考えていることになる。
<math>H_{\mathbf{a},b} := \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n | \mathbf{a} \cdot \mathbf{x} = b\} \subset \mathbb{R}^n</math>
制約式が一本だから、H は (n-1)次元多様体になることが分かる。
さらに H は(n-1)次元アフィン空間であることが分かる。
実際、x は次のように陽に表すことができる。
<math>\mathbf{x} = \frac{b}{a} \widehat{\mathbf{a}} + \mathbf{a}^\bot</math>
aの直行補空間は線形空間であるから、
線形空間の元を定数だけ平行移動して得られる x の全体はアフィン空間である。
特に、b=0 のとき H は a の直行補空間そのものである。
ここで次のような線形写像を考える。
<math>A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}; \mathbf{x} \mapsto \mathbf{a} \cdot \mathbf{x}</math>
x は次のようにも書けることが分かる。
<math>\mathbf{x} = \frac{b}{a} \widehat{ \mathbf{a} } + \ker A</math>
即ち、x は線形空間の凖同型Aが定める商空間 <math>\mathbb{R}^n / \ker A</math> の元（の切断）なのである。
勿論同じことだが、x はもとの空間を a の直交補空間で割った空間<math>\mathbb{R}^n / \mathbf{a}^\bot</math>の元（の切断）と考えても同じである。
