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よく使う開基と基本近傍系 - (2011/05/07 (土) 21:57:02) のソース
=基本近傍系=
'''Def. 基本近傍系'''
<math>(X, \mathcal{O})</math> top. sp.
<math>\mathcal{N}(x)</math> neighbourhoods of x
<math>\mathcal{B}(x) \subset \mathcal{N}(x)</math> が基本近傍系であるとは，
<math>{}^\forall N \in \mathcal{N}(x) \ {}^\exists B \in \mathcal{B}(x) \mbox{ s.t. } B \subset N</math>
'''Th. 開近傍系は基本近傍系'''
<math>\mathcal{O}(x) := \{ O \in \mathcal{O} | x \in O \}</math>
==基本近傍系の例==
'''距離空間の可算基本近傍系'''
<math>\mathcal{B}(x) := \left \{ B_\frac{1}{n}(x) \big | n \in \mathbb{N} \right \}</math>
特に，これは可算基本近傍系であるから，距離空間は第一可算であることが分かる。
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=開基=
'''Def. 開基'''
<math>(X, \mathcal{O})</math> top. sp.
<math>\mathcal{B} \subset \mathcal{O}</math> が開基であるとは，
<math>{}^\forall O \in \mathcal{O} \ {}^\exists \mathcal{B}_O \subset \mathcal{B} \mbox{ s.t. } O = \bigcup \mathcal{B}_O</math>
'''Th. 開集合の生成'''
<math>\mathcal{O} = \{ \bigcup \mathcal{B}' | \mathcal{B}' \subset \mathcal{B} \}</math>
==開基の例==
'''可分な距離空間の可算開基'''
Xの高々可算稠密部分集合をDとして，
<math>\mathcal{B} = \left \{ B_r(x) | x \in D, r \in \mathbb{Q}_{\geq 0} \right \}</math>
特に，これは可算開基であるから，可分な距離空間は第二可算であることが分かる。
'''ユークリッド空間の可算開基'''
<math>\mathcal{B} = \left \{ B_r(q) | q \in \mathbb{Q}^n, r \in \mathbb{Q}_{\geq 0} \right \}</math>
