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行列の極限と指数対数 - (2011/09/27 (火) 15:39:38) のソース
=位相の入れ方=
リー群リー環（行列の指数関数が活躍する）などの文脈ではフロベニウスノルムで位相を入れることが多い。
<math>\| A \|_{\rm Fro} := \sqrt{ \sum |a_{ij}|^2 }</math>
行列とベクトルの並べ替えによる線形同型<math>\phi : \mathrm{Mat}(n,\mathbb{K}) \to \mathbb{K}^{n^2}; ( a_{ij} ) \mapsto ( a_{11}, \cdots, a_{nn} )</math>
をとり，
<math>\| A \| := \| \phi( A )\|</math>
によってノルムを定義すると，これで等距離同型(isometry)になった。わけ。
このノルムで，
<math>\lim_{m \to \infty} A_m = A \ \Leftrightarrow \ \lim_{m \to \infty} \| A_m - A \| = 0</math>
によって収束を定義する。
つまり有限次元ユークリッド空間の標準位相であるから，成分毎の収束と同値。
<math>\Leftrightarrow \ {}^\forall i,j \ : \ a_{ij}^{(n)} \to a^{(n)}</math>
作用素ノルムで考えてもおｋ（フロベニウスと同値な位相を誘導する）
<math>\| A \|_{\rm Opr} := \sup_{\| x \| = 1 } \| Ax \|</math>
行列ノルムの性質（劣乗法性）←最大値ノルムは満たさない。フロベニウスノルム，作用素ノルム，シャッテンノルムはおｋ
<math>\| AB \| \leq \| A \| \| B \|</math>
=極限の基本=
公式
<math>A_n \to A, B_n \to B \ \Rightarrow \ A_n+B_n \to A+B, A_n B_n \to AB</math>「群演算は連続」
<math>A_n \to A, \alpha_n \to \alpha \ \Rightarrow \alpha_n A_n \to \alpha A</math>
<math>A_n \to A \ \Rightarrow A_n^\mathrm{T} \to A^\mathrm{T}, \overline{A}_n \to \overline{A}, A^*_n \to A^*</math>
=連続写像=
<math>f : \mathrm{Mat}(n, \mathbb{K}) \to Y</math> （Y は適当な位相空間。実数体，行列空間など）
「fがAで連続」という条件は，以下の３つの条件とそれぞれ同値
<math>A_m \to A \ \Rightarrow \ f(A_m) \to f(A)</math> 点列連続
<math>f^{-1}( O_Y ) \mbox{ open in } \mathrm{Mat}(n, \mathbb{K})</math> 逆像が開写像
<math>f^{-1}( F_Y ) \mbox{ closed in }\mathrm{Mat}(n, \mathbb{K})</math> 逆像が閉写像
例
<math>f_P : \mathrm{Mat}(n, \mathbb{K}) \to \mathrm{Mat}(n, \mathbb{K}); A \mapsto P A P^{-1} \quad P \in GL(n, \mathbb{K})</math> 相似写像は連続
応用（一般線形群は開集合，特殊線形群は閉集合）
<math>GL(n, \mathbb{K}) := \{ A \in \mathrm{Mat}(n,\mathbb{R}) | A \mbox{ is regular } \}</math>
<math>SL(n, \mathbb{K}) := \{ A \in GL(n,\mathbb{K}) | \det = 1 \}</math>
<math>\det : \mathrm{Mat}(n,\mathbb{K}) \to \mathbb{K}</math> は成分の多項式なので連続
これを使って
<math>\det^{-1}( \mathbb{K}^\cross ) = GL(n, \mathbb{K})</math> 左辺はKの開集合
<math>\det^{-1}( \{ 1 \} ) = SL(n, \mathbb{K})</math> 右辺はKの閉集合
より，それぞれ det の連続性から示される。
応用（直交行列は閉集合）
<math>O(n) := \{ A \in \mathrm{Mat}(n,\mathbb{R}) | A^{\rm T} A = I \}</math>
<math>f(A) = A^\mathrm{T} A</math> は連続（∵転置と積の合成写像）
<math>O(n) = f^{-1}( \{ I \} )</math>
右辺の一点集合は閉集合であるから，fの連続性によりO(n)もMat(n, R or C)の閉集合
=べき乗を計算するためのテクニック=
1. 三角行列の対角成分はそのままべき乗
<math>\begin{pmatrix} \lambda_{11} & & * \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_{nn} \end{pmatrix}^m = \begin{pmatrix} \lambda_{11}^m & & * \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_{nn}^m \end{pmatrix}</math>
任意の正方行列は適当な正則行列を使って，複素数の範囲で三角化可能なので，
対角成分だけの議論ならこのテクニックでどうにかなる。
2. べき零あるいは擬周期性
<math>{}^\exists k : A^k = O</math> 高々 k まで計算するだけ
<math>{}^\exists k : A^k = a_{k-1} A^{k-1} + \cdots + a_0 I </math> まず k まで計算して，あとは漸化式
不等式
<math>A, B \in \mathrm{Mat}(n, \mathbb{K}); \ M := \max{ \| A \|, \| B \| } </math>
<math>\| A^m - B^m \| \leq m M^{m-1} \| A - B \| \quad \mbox{ for all } m \in \mathbb{N}</math>
=行列の指数関数=
<math>\exp : \mathrm{Mat}(n, \mathbb{K}) \to \mathrm{Mat}(n, \mathbb{K})</math>
<math>\exp(A) := \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m !} A^m</math>
全域で存在
<math>\Big \| \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m !} A^m \Big \| \leq \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m !} \| A^m \| \leq \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m !} \| A \| ^m = \exp \| A \|</math>
連続性
<math>A, B \in \mathrm{Mat}(n, \mathbb{K}); \ M := \max{ \| A \|, \| B \| } </math>
<math>\| \exp A - \exp B \| \leq \exp M \| A - B \|</math> を用いて示される。
例
<math>\exp \begin{pmatrix} s & t \\ -t & s \end{pmatrix} = \exp s \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix}</math>
<math>\exp \begin{pmatrix} \lambda_{11} & & * \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_{nn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \exp \lambda_{11} & & * \\ & \ddots & \\ 0 & & \exp \lambda_{nn} \end{pmatrix} </math>
公式
1. <math>AB=BA \ \Rightarrow \ \exp(A+B) = \exp(A) \exp(B)</math>
2. <math>A \in \mathrm{Mat}(n, \mathbb{K}) \ \Rightarrow \ \exp(A) \in GL(n,\mathbb{K})</math>
<math>( \exp A )^{-1} = \exp( -A )</math>
3. <math>( \exp A )^\mathrm{T} = \exp A^\mathrm{T}, ( \exp A )^* = \exp A^*</math>
4. <math>\det \exp A = \exp \tr A </math>
5. <math>P \exp A P^{-1} = \exp P A P^{-1}</math>
注意（単射でない）
<math>X=O \ \Rightarrow \ \exp X = I</math> だが，逆は成り立たない！
<math>\exp X = I \ \Rightarrow \ X = O \mbox{ or } \begin{pmatrix} 0 & -2 m \pi \\ 2 m \pi & 0 \end{pmatrix}</math> など。この形に限るかどうかは不明
=対数関数=
<math>\log A := \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{m-1}}{m} (A-I)^m \quad \mbox{ for } \| A - I \|<1 </math>
いつ逆写像になるか？
1. <math>\| A \| < \log 2 \ \Rightarrow \ \log \exp A = A</math>
2. <math>\| A - I \| < 1 \ \Rightarrow \ \exp \log A = A</math>
3. <math>\| X - I \| < 1 </math> で連続
結論
<math>\| X \| < \log 2</math> 上で単射かつ双連続
注意
<math>\| X \| < \log 2</math> のとき，
<math>\Big \| \exp X - I \Big \| = \Big \| \sum_{m=1}^\infty \frac{1}{m !}X^m \Big \| \leq \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{m !} \| X \|^m = \exp \| X \| - 1</math>
