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行列の微分3 - (2013/11/18 (月) 21:20:39) のソース
'''行列の積と同じ形式で作用させる'''
<math>D := \left( \partial_{ij} \right)</math> 微分作用素を並べた行列
<math>A := \left( a_{ij} \right)</math> 関数を並べた行列
<math>\left( DA \right)_{ij} := \partial_{ik}a_{kj} </math> 行列の積と同じ形式の積和（作用和）で定義する。
'''ライプニッツルール'''
<math>D(AB) = (DA)B + (D * A)B = (DA)B + (A^\mathrm{T} D^\mathrm{T})^\mathrm{T}B</math>
ただし
<math>(D*A)_{ij} := \partial_{ik} * a_{kj} := a_{kj}\partial_{ik}</math>
によって新たな乗法<math>*</math>を定める。
すなわち，<math>D*A</math> は新たな微分作用素を定める。
ただし，最右辺に示すように，D が A に作用しないように計算すれば同じ結果を得る。
<math>\left( (D*A)B \right)_{ij} := (\partial_{ik}*a_{kl}) b_{lj} = a_{kl} \partial_{ik} b_{lj}</math> は成分計算でよく使う。
'''※Dが線形作用素であることは明らか'''
'''公式'''
<math>\frac{\partial}{\partial a} a^\mathrm{T} b = b</math>
上式において，（<math>a</math> が列ベクトルの場合）
<math>\frac{\partial}{\partial a}</math> は列ベクトルでなくては行列の積が定義できないので，自然に列ベクトルであると分かる。
※逆に <math>a</math> が行ベクトルの場合には，列ベクトルになることも分かる。
'''公式'''
<math>D_A = \left( \partial_{ij} \right) := \left( \frac{\partial}{\partial a_{ij}} \right)</math> のとき，
<math> D_A A = \left( \partial_{ik} a_{kj} \right) = \left( \delta_{ik}\delta_{kj} \right) = \left( \delta_{ij} \right) = I</math> ※m次正方行列に限る
<math> D_A A^\mathrm{T} = \left( \partial_{ik} a_{jk} \right) = \left( \delta_{ij}\delta_{kk} \right) = \left( n \delta_{ij} \right) = n I</math> ※ (m,n)行列の場合
<math>D_A A^2 = A+A^\mathrm{T}</math>
実際，
<math>D_A A^2 = (D_A A)A + (D_A*A)A = A + \left( \left( \partial_{ik} * a_{kl} \right) a_{lj} \right)</math>
<math>\left( \left( \partial_{ik} * a_{kl} \right) a_{lj} = a_{kl} \partial_{ik} a_{lj}= a_{kl} \delta_{il}\delta_{kj} = a_{ji} = (A^\mathrm{T})_{ij} \right)</math>
<math>D_A (A^\mathrm{T} A) = (n+1)A</math>
実際，
<math>D_A (A^\mathrm{T} A) = (D_A A^\mathrm{T})A + (D_A * A^\mathrm{T})A = nA + \left( \left( \partial_{ik} * a_{lk} \right) a_{lj}\right)</math>
<math>\left( \left( \partial_{ik} * a_{lk} \right) a_{lj} = a_{lk} \partial_{ik} a_{lj}= a_{lk} \delta_{il}\delta_{kj} = a_{ij} = (A)_{ij} \right)</math>
