=アハ体験問題=
== その他 ==
'''well-definedness'''
つぎの線形作用素が well-defined であることを確かめよ。
I:=(0,1)
<math>T:C(\overline{I}) \to C(\overline{I}); \ x(t) \mapsto \int_0^t x(s)ds</math>
←ちゃんと積分が存在するかどうか確かめればおｋ
==位相==
無限個の開集合の共通部分が空でない閉集合になる例を挙げよ。
'''Ans. '''
<math>O_n := (-\frac{1}{n},\frac{1}{n}) \quad (n=1,2,\cdots)</math>
有理数体QはRの位相で開集合か，閉集合か，あるいはどちらでもないか。
'''Hint'''
任意のRの元に収束するQの列が存在する。
==極限==
次の極限を求めよ
<math>\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( \sin x \right)^{\tan x}</math>
上極限・下極限を求めよ
<math>a_n = (-1)^n</math>
<math>a_n = 1 + \frac{(-1)^n}{2^n}</math>
<math>a_n = \sin \frac{n \pi}{4}</math>
<math>a_{2n-1} = 0, a_{2n} = n</math>
<math>\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\cdots,\frac{1}{n},\cdots, \frac{n-1}{n},\cdots</math>
次は収束するか？どこで一様収束するか？
<math>f_n(x) := \frac{nx}{1+nx^2}</math>
<math>f_n(x) := \frac{nx}{1+n^2x^2}</math>
<math>f_n(x) := \frac{n^2x}{1+nx^2}</math>
以下を示せ
<math>\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha \ \Rightarrow \ \lim_{n \to \infty} \frac{ a_1 + \cdots + a_n}{n} = \alpha</math>
==連続性==
掛け算は一様連続でないことを示せ。
<math>f(x,y) := xy</math>
次の関数は原点で連続か。また微分係数を求めよ。
<math>g_n(x) := \begin{cases} x^n \sin \frac{1}{x} & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}</math>
==複素数==
次の極限を求めよ
<math>\lim_{z \to i} \frac{z-i}{z^3 + i}</math>
←1. <math>w=z-i</math> とおく。
←2. 部分分数分解してもおｋ
==微分==
C∞級であることを証明せよ（帰納法）
<math>\begin{cases} e^{-\frac{1}{1-x^2}} & |x|<1 \\ 0 & || \geq 1\end{cases}</math>
次を証明せよ。
<math>\frac{d \, \log x}{dx} = \frac{1}{x} \quad (x > 0)</math>
==積分==
計算せよ
ガウス分布の３次モーメントが０
<math>\int_\mathbb{R} x^3 \exp \left( -\frac{x^2}{2} \right) dx</math>
次の積分を計算せよ
<math>\int_0^1\int_0^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dxdy</math>
<math>\int_0^1\int_0^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dydx</math>
次の積分を計算せよ
<math>\int_\mathbb{R} \frac{x^2}{x^2+a^2}e^{i \oemga x} dx</math>
次の積分を計算せよ（Dirichlet積分，あるいはSinc関数の積分）
<math>\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx</math>
==微分方程式==
次を証明せよ。
f:[a,b]→R conti. (a,b)で微分可能
<math>f'(x)=c \, (const.) \, \Rightarrow f(x)=cx+ {}^\exists d </math>
==Poincare予想==
単連結閉三次元多様体は球面に位相同型である。
NYTによるペレルマンの取材記事[http://www.newyorker.com/archive/2006/08/28/060828fa_fact2 外部リンク]