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微分方程式の分類 - (2011/10/05 (水) 18:32:23) のソース
==ODEとPDE，およびSDE==
'''Def. ODE'''
'''Def. PDE'''
'''Def. SDE'''
==線形と非線形==
'''Def. Linear'''
適当な線形作用素Lでもって次の形にかける。
<math>Lu=f</math>
'''Def. 準線形'''
==初期値と境界値==
'''Def. 初期値問題（Cauchy問題）'''
'''Def. 境界値問題（Dirichlet問題）'''
'''Def. Neumann条件'''
==発展方程式==
<math>\begin{cases} \frac{du}{dt} + Au = 0 \quad t \geq 0 \\ u(0)=u_0 \end{cases}</math>
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== 二階線形PDE ==
「楕円型は平衡状態，放物型は拡散過程，双曲型は振動過程を記述している。」 (J.Jost)
「楕円型が一番性質が良い！」（某先輩のお言葉）←Dirichlet問題は変分問題の基本だからね。
===楕円型 elliptic===
'''Ex. Poisson方程式'''
R上の境界値問題
<math>\triangle u(x) = f(x)</math>
<math>u(x) = g(x) \textrm{ : on }\partial R</math>
f,gがR上連続のとき，解は一意に存在する。
特に，f=0 のとき '''Laplace方程式''' という。
===放物型 parabolic===
'''拡散方程式（熱方程式）'''
<math>\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha^2 \triangle u</math>
===双曲型 hyperbolic===
'''波動方程式'''
<math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \alpha^2 \triangle u</math>
Maxwell方程式は波動方程式！
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==非線型方程式==
===Non-Linear ODE===
'''Lorentz eq.'''
大気変動モデルから出てきた方程式。ローレンツアトラクタとか。
: <math>\frac{dx}{dt} = -px+py</math>
: <math>\frac{dy}{dt} = -xz+rx-y</math>
: <math>\frac{dz}{dt} = xy-bz</math>
'''Painlevé transcendents'''
６本のすごいやつ。[http://en.wikipedia.org/wiki/Painlev%C3%A9_transcendents Wikipedia "Painleve transcendents"]参照
===Non-Linear PDE===
'''Burgers eq.'''
乱流を表す方程式。
: <math>\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math>
: <math>\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = \triangle \mathbf{u}</math>
'''Navier-Stokes eq.'''
多次元Burgersに圧力項を足した方程式？
: <math>\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\nabla p + \triangle \mathbf{u}</math>
