Cantor集合

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Cantor集合 - (2009/07/22 (水) 00:22:45) のソース

 '''Def. Cantor Set'''
 Step1. 以下の列を定義する。
 <math>C_0 := [0,1] </math>
 <math>C_1 := [0,\frac{1}{3}] \cup  [\frac{2}{3},1]</math>
 <math>C_2 := \left( [0,\frac{1}{9}] \cup  [\frac{2}{9},\frac{1}{3}] \right) \cup \left( [\frac{2}{3},\frac{7}{9}] \cup  [\frac{8}{9},1] \right)</math>
 ・・・
 Step2. これらの共通部分をとったものを，Cantor集合という。
 <math>C := \bigcap_{n=0}^\infty C_n</math>

 '''Prop.'''
 1. Cantor Set の濃度は実無限に等しい。
 1'. Cantor Setの点は，C<sub>n</sub>のいづれかの端点であり，これに限る。
 2. Cantor Set の測度は零。

 '''Cor. 実無限濃度でも測度零の集合が作れる。'''

 '''Prop. B.Mandlebrot 1975'''
 Cantor Set の次元は ln<sub>3</sub> 2
 ∵ Cantor Set の長さを３倍すると，元の Cantor Set の相似が２つ現れるから。

 '''Cf. 立方体の次元は３'''
 立方体の長さを３倍すると，元の立方体の相似は２７個あらわれるので，３次元

 '''Th. Cantor Set は Compact'''
 証明はHeine-Borelによる。