Frobenius内積

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Frobenius内積 - (2010/10/22 (金) 18:02:46) のソース

 '''Def. Frobenius内積'''
 対称行列の空間に対して定義される。
 <math>\langle A,B \rangle := \mathrm{Tr} \{ A^\mathrm{T} B\}</math>

 '''Def. Frobeniusノルム'''
 <math>\| A \| := \langle A,A \rangle = \mathrm{Tr} \{ A^\mathrm{T} A\} = \sum_{i,j} \, a_{ij}^2</math>
 '''Prop. 内積の公理'''
 1. 線形性
 <math>\langle kA+lB,C \rangle = k \langle A,C \rangle + l \langle B,C \rangle</math>
 2. 対称性
 <math>\langle A,B \rangle = \langle B,A \rangle^\star </math>
 3. 正値性
 <math>\langle A,A \rangle \geq 0; \quad \langle A,A \rangle = 0 \Leftrightarrow A=0 </math>

 '''Def. Trの性質'''
 1. 積の交換律
 <math>\langle A,B\rangle = \langle A^\mathrm{T}, B^\mathrm{T}\rangle</math>
 2. 積の結合律
 <math>\langle AB,C\rangle = \langle A, CB^\mathrm{T}\rangle = \langle B, A^\mathrm{T}C\rangle</math>
 <math>\langle A,BC\rangle = \langle AC^\mathrm{T},B\rangle = \langle B^\mathrm{T}A,C\rangle</math>
 特に，
 <math>\langle A,B\rangle = \langle A^\mathrm{T}B\rangle</math>

= 二次形式 =
 <math>x^\mathrm{T} Ax = \langle Ax,x \rangle</math>
 '''平方完成　その１（多変量正規分布の指数）'''
 <math>\langle \Sigma^{-1}x,x \rangle - 2 \langle \Sigma^{-1}x,\mu \rangle + C</math>
   <math>= \langle \Sigma^{-1}x,x \rangle - 2 \langle \Sigma^{-1}x,\mu \rangle + \langle \Sigma^{-1}\mu,\mu \rangle + C - \langle \Sigma^{-1}\mu,\mu \rangle</math>
   <math>= \langle \Sigma^{-1}(x-\mu),x-\mu \rangle + \widetilde{C} \quad \left( \widetilde{C} := C - \langle \mu,\Sigma^{-1}\mu \rangle \right)</math>
 '''平方完成　その２（二次曲面の定義式）'''
 <math>\langle Ax,x \rangle + 2 \langle \mathbf{b},x \rangle + C</math>

= 内積の微分 =
 <math>\frac{\partial \langle A,B \rangle}{\partial x} = \langle\frac{\partial A}{\partial x},B \rangle + \langle A,\frac{\partial B}{\partial x} \rangle</math>
 <math>\frac{\partial \langle A,A \rangle}{\partial x} = 2\langle\frac{\partial A}{\partial x},A \rangle</math>

= クロネッカーのデルタ =
 '''I<sup>ij</sup>との相性'''
 <math>\langle X,\mathbb{I}^{ij} \rangle = x_{ij}</math>
 <math>\langle \mathbb{I}^{ij}, \mathbb{I}^{kl} \rangle = \delta_{ik}\delta_{jl}</math>
 ← '''I<sup>ij</sup>はFrobenius内積における正規直交基底である！'''
 '''I<sup>ij</sup>'''は次の関係式が有用である。
 <math>\mathbb{I}^{ij} = \frac{\partial X}{\partial x_{ij}}</math>