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おもしろい数列

Ex. πをつくる
\frac{\pi}{4} = 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}- \cdots
[導出]
等比級数の公式
\frac{1}{1-t} = 1+t+t^2+\cdots \mbox{ for } t \in (-1,1)
-t2を代入する。
\frac{1}{1+t^2} = 1-t^2+t^4-\cdots
これは(-1,1)上で一様収束なので，項別積分と級数の積分が一致する。
他方，左辺は arctan(x) の定義式になる。
\arctan(x) := \int_0^x \frac{dt}{1+t^2} = x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}- \cdots
実は x=1 のときにもこの式は成り立って(Abel's Theorem？)，x=1を代入すると冒頭の数列を得る。
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最終更新：2009年07月24日 16:03
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