完備でない距離空間に絶対値距離
を入れた空間は完備でない。 なんとなれば，Qの列で，√2に収束する点列を考えればよい。
すべての部分集合が開かつ閉になる距離 X：setこの距離による開球を開集合とする位相を考えると，
となって，一点からなる集合が開集合となることが分かる。 従ってXの任意の部分集合は開集合になるから，任意の開集合の補集合は閉であると同時に再び開である。 これは離散位相になっている。
位相幾何学者の正弦曲線のグラフは連結だが弧状連結でない。
多様体でない曲線 自己交叉をもつ曲線は可微分多様体にならない。
円と楕円の違い 可微分多様体としては同じ（微分同相） Riemann多様体としては別物（距離構造が違う）
Riemann多様体 可微分多様体に距離を入れたもの。 具体的には，各接空間毎に内積を入れる（これをリーマン計量という）。
