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よく使う開基と基本近傍系

基本近傍系

Def. 基本近傍系
(X, \mathcal{O}) top. sp.
\mathcal{N}(x) neighbourhoods of x
\mathcal{B}(x) \subset \mathcal{N}(x) が基本近傍系であるとは，
{}^\forall N \in \mathcal{N}(x) \ {}^\exists B \in \mathcal{B}(x) \mbox{ s.t. } B \subset N

Th. 開近傍系は基本近傍系
\mathcal{O}(x) := \{ O \in \mathcal{O} | x \in O \}

基本近傍系の例

距離空間の可算基本近傍系
\mathcal{B}(x) := \left \{ B_\frac{1}{n}(x) \big | n \in \mathbb{N} \right \}
特に，これは可算基本近傍系であるから，距離空間は第一可算であることが分かる。

開基

Def. 開基
(X, \mathcal{O}) top. sp.
\mathcal{B} \subset \mathcal{O} が開基であるとは，
{}^\forall O \in \mathcal{O} \ {}^\exists \mathcal{B}_O \subset \mathcal{B} \mbox{ s.t. } O = \bigcup \mathcal{B}_O 

Th. 開集合の生成
\mathcal{O} = \{ \bigcup \mathcal{B}' | \mathcal{B}' \subset \mathcal{B} \}

開基の例

可分な距離空間の可算開基
Xの高々可算稠密部分集合をDとして，
\mathcal{B} = \left \{ B_r(x) | x \in D, r \in \mathbb{Q}_{\geq 0} \right \}
特に，これは可算開基であるから，可分な距離空間は第二可算であることが分かる。

ユークリッド空間の可算開基
\mathcal{B} = \left \{ B_r(q) | q \in \mathbb{Q}^n, r \in \mathbb{Q}_{\geq 0} \right \}

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最終更新：2011年05月07日 21:57
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