スタティックシステム:出力が現在の入力のみで決まる。 ダイナミカルシステム:出力が現在と過去の入力で決まる。 →時間の関数(状態変数)の微分方程式(状態方程式)による表現(状態を扱うところが現代的) ←古典的制御理論とは,システムをブラックボックス化して,系の入出力関係のみ(つまり周波数応答)を見る方法。
Ex. RLC回路 入力:電源電圧e(t) 出力:出力電圧v(t)・電流i(t)
Ex. マス-バネ-ダンパ系 入力:外力f(t) 出力:変位x(t)
RLC回路やMKD系はLTIシステム(Linear Time Invariant; 線形時不変系)の例でもある。
Def. 線形ダイナミカルシステムの状態方程式 入力:u(t) 出力:y(t) 定数係数多項式:p(x),q(x)
Prop. 重ね合わせ 線形システムは重ね合わせが利く。
Ex. 非線形システム(水位計) 入力:流入量 q(t) 出力:水位 h(t) → 1次テイラー近似によって,差分を入出力とした線形システムに落とし込む。
Def. 因果性(causality) 出力が現在と過去の入力のみで決まるシステム。(つまり未来に依らない。) 定理により,系のインパルス応答が因果性信号になることと同値。
Def. 時不変(Time Invariant) 入力u(t)に対する出力y(t)とする。 時間をシフトした入力u(t+T)に対する出力がy(t+T)となるとき,系は時不変であるという。
Def. LTI; Linear Time Invariant 線形時不変ダイナミカルシステムのこと。 単に線形システムといえばこいつのことを指す。
注. 線形システムの厳密な定義は以下の3つの性質による ゼロ状態線形性,ゼロ入力線形性,可分性
ブロック線図 (→ [G1] → [G2] →) → G1(s) G2(s)
インパルス応答 デルタ関数を入力したときの応答 伝達関数G(s)は、インパルス応答でもある。
Th. コンボリューション定理 (LTIにおいて)入力u(t)に対する応答は、インパルス応答との畳み込みで与えられる。 (証明はいろいろ。ここではラプラス変換によるもの。)
ステップ応答 ステップ入力に対する応答 伝達関数G(s)に1/sをかけて逆ラプラス変換すればよい。
感度関数
定常応答 本来 t=0 で初期状態全て 0 が前提だった。 t=t0で初期状態を与えると、応答もt0だけずれる。 ただし、g(t)はインパルス応答 t0→-∞とした応答を定常応答という。
周波数応答 入力: に対する定常応答 出力: 従って周波数伝達関数は伝達関数にjωを突っ込んだものになる。
用語 ゲイン: 位相差:
ベクトル軌跡 G(jω)を複素平面上にプロットしたもの。 1. 始点(ω=0)終点(ω=∞) 2. 経路の向き 3. 軸と交わる周波数
Bode線図 横軸は周波数ωの片対数(rad/s) 1. ゲイン線図 ω-|G(jω)| 単位 dB (20 log10) 2. 位相線図 ω-arg G(jω) 単位 deg
ボード線図は、 結合系が和になる。 逆システムが横軸対称になる。 という点が優れている。
安定:ノイズが入っても元に戻る。 不安定:ノイズが入ったときに、それがどんどん増幅される。
Def. 内部安定性 ゼロ入力(u≡0)→ 出力はゼロに収束
Def. BIBO安定 入力が有界かつ因果性 → 出力も有界
Th. 線形系において、以下の条件は同値 1. BIBO安定 2. ステップ応答が収束する。(絶対可積分) 3. 全ての極が左半平面にある。(極の実部が負)
FB系のモデル r → (r-y) → [K] → u → (u+d) → [P] → y r:目標信号 u:コントローラの出力 d:雑音信号 y:制御対象の出力
FB系の内部安定性 ru,ry,du,dyの4つの伝達関数がすべて安定
Th. 特性多項式 P(s),K(s)を次のように多項式の既約分数で表す。 このとき、次で定義されるΦを 特性多項式という。 以下は同値 1. FB系は内部安定 2. 4つの伝達関数が全て安定(極が左半平面にある。) 3. Φの極が左半平面にある。
Cor. FB系の内部安定 P(s)K(s)に不安定な極零相殺がないとき、以下は同値 1. FB系は内部安定 2. Gr→yが安定 3. 1+P(s)K(s)の零点がすべて左半平面にある。
Lem. 不安定な極零相殺 P(s)K(s)のあいだに不安定な極の相殺があるときは、系は内部安定にならない。
Th. Nykistの安定性判別法 開ループ伝達関数 L(s) := P(s)K(s) とおく。 0. L(s)に不安定な極零相殺がないことを確認する。 1. L(jω)のベクトル軌跡を描く。(これを実軸対称にしたものをナイキスト軌跡という。) 2. ナイキスト軌跡が -1+j0 の周りを時計回りに回る回数をNとする。 3. L(s)の不安定な極の数をΠとする。 4. N+Π=0 のときFB系は安定である。
Cor. Nykist簡易版 0'. L(s)の極が全て左半平面にあることを確認する。 1'. L(jω)のベクトル軌跡を描く。 2'. ベクトル軌跡が -1+j0 を常に左手にみるとき、FB系は内部安定
Def. ゲイン余裕 L(jω)のベクトル軌跡において、負の実軸との交点Pとする。 Pにおける周波数を位相交差周波数ωpcといい、以下を満たす。 またこのとき、ゲイン余裕GMを以下で定義する。 ただし、通常はこれを dB で表すので、さらに 20log をかけて使う。
位相余裕 L(jω)のベクトル軌跡において、単位円との交点Gとする。 Gにおける周波数をゲイン交差周波数ωgcといい、以下を満たす。 またこのとき、位相余裕PMを以下で定義する。
Lyapnov安定性 系を適当に平行移動することで、一般性を失うことなく原点を平衡点に制限できる。 以下は、原点における安定性を述べている。
漸近安定 系は原点で安定であるとする。このとき、さらに強い条件を定めることができる。
Ex. ただの安定と漸近安定の違い ある平衡点の周りを振動し続けるものは安定だが、漸近安定でない。 減衰振動のように、最終的に振幅が0に収束するものは漸近安定である。 ←このことを「摩擦がある」という。
Th. Lyapnovの安定定理 「システム解析」で習うのは、この定理を線形系に適用した系 つぎの標準形で与えられた線形系において, 以下が成り立つ。 Aの固有値が全て負 ⇒ (大域的)漸近安定 Aの固有値が全て非正 ⇒ (大域的)Lyapunov安定