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ブラウン運動

Langevin equation
液体中のコロイド粒子が，ホワイトノイズを受けて運動する方程式。物理的議論から導かれる。
\frac{d \mathbf{v}}{dt} = - \beta \mathbf{v} + \mathbf{f}
v : コロイドの速度ベクトル（実は確率変数）
β : 粘性定数
f : 揺動力 or ホワイトノイズ（各時刻tで独立に正規分布に従う正規乱数）

fがホワイトノイズである以上，vは微分不能である。
従って Langevin eq. は形式的な記述にすぎない。
これをIto's SDEに書き直すと，
 d \mathbf{v} = - \beta \mathbf{v} + \sigma d W 
その解は以下で与えられる。
\mathbf{v}(t) = \exp(-\beta t) \left \{ \mathbf{v}_0 + \sum_{0 \leq s \leq t} \exp(\beta s) \sigma dW(s) \right \}

Fokker-Planck eq.
Ito's SDE
dX(t) = g(X(t)) dt + h(X(t)) dW(t)
の解 x(t) とする。各時刻tで密度関数\rho(x|t)が存在すれば，
次の FP eq. を満足する。
\frac{\partial \rho}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial x} \{ g(x)\rho(x|t) \} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \{ h(x)^2 \rho(x|t) \}

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最終更新：2010年09月01日 22:07
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