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切断と引き込み

ファイバーバンドルについても参照

線形代数での例

レトラクションは、v = \sum_{i=1}^m x_i v_i\in Vから
いくつかの(全てでなくて良い)成分ベクトル(x_1, \cdots, x_n) \ (n \leq m)を取り出す写像。
射影っぽいけど、射影行列ではないことに注意。
射影行列は成分ベクトルを与えるわけではなく、射影空間の元を与える。

切断は、成分ベクトル(x_1, \cdots, x_n)を適当な空間の元\sum_{j=1}^n x_i v_iとして実現する写像

特異値分解に表れる
列直交行列U = [ u_1, \cdots, u_r ] \in \mathbb{R}^{p \times r}, \ U^* U = I_rは、
成分ベクトル(x_1, \cdots, x_r)に作用して
p次元空間の元\sum_{i=1}^r x_i u_iを作り出すので、切断。

これに対するレトラクションは共役行列U^*で与えられる。
実際、これはp次元空間のベクトル\sum_{i=1}^p x_i u_iに
作用して(単位ベクトルで内積をとるので成分が出てくる)、
はじめのr個の成分を取り出して並べたベクトルを作る行列である。
成分を取り出すだけなので、射影行列ではない。

なお、V V^*はp次元空間の元\sum_{i=1}^p x_i v_iの成分を削って再び\sum_{i=1}^r x_iとしてp次元空間の元に戻す写像であるから、これが射影行列である。

自然な射影の切断

商集合X/~の自然な射影pとする。
X/~の各類Aから一つの代表aを選んでくる写像sを，射影pの切断という。
\begin{tabular}{cccc}
$s :$ & $X / \sim$ & $\to$ & $X$ \\
      & $\ni$ &     & $\ni$   \\
      & $[x]$ & $\mapsto$ & $x \in [x]$

全射と切断

切断は一般の全射に対して定義される。

Lem.
f:X \to Y, \ g:Y \to X map
f \circ g = \mathrm{id}_Y
このときfは全射で，gは単射である。
また特に，g \circ f : X \to X は冪等 idempotent である。←つまり，射影である。

Rem.
上の定理の条件が成り立っているとき，f,gはsplit（分裂）であるといい，
fをgのretraction（引き込み），gをfのsection（断面，切断）という。
また，fはgの左逆写像，gはfの右逆写像ともいえる。

この事実（f,g分裂⇒f全射かつg単射）の逆（f全射⇒g単射が存在して，f,g分裂）を示すには選択公理が必要
Th.  空でない集合X,Yに対し，f:X \to Y が全射であるとする。
このとき，f \circ s = \mathrm{id}_Y なるs:Y \to X が存在する。
つまり，全射に対して切断（右逆写像）は常に存在する。

Cor. 
(i) sは単射
(ii) さらに s \circ f = \mathrm{id}_X ならば，s=f^{-1}
つまり，切断とはプレ逆写像とでも言うべきもの。逆像ではない。

逆像との関係としては，次が成り立つ。
g(y) \in f^{-1}(y)

自然な射影の切断との関係
f全射をとると，fによる同値関係~fが定義できて，商集合X/~fの自然な射影pに対して
切断sを考えることができるが，これはfに対する切断s'と同一視することができる。

単射と引き込み

先の定理の双対として，次が成り立つ。
Th. 空でない集合X,Yに対し，f:X \to Y が単射であるとする。
このとき，r \circ f = \mathrm{id}_X なるr:Y \to X が存在する。
つまり，単射に対して引き込み（レトラクション，左逆写像）は常に存在する。
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最終更新：2011年12月24日 13:59
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