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収束・発散

「収束する」とき

「発散する」とき

一様収束を示す
0. なにはともあれ，収束先を探す。
0'. supノルムが０にならなきゃだめ

1. そもそも各点収束していることを確かめる。（x固定するので，ただの数列になる。）
  
1'. 関数列が連続で，収束先が不連続なら一様収束しない。

2. 次を満たすNが，xに依らずにとれれば一様収束。

xに依らないことが示されてさえいれば，xを固定して数列にしてしまうテクニックは一様収束でも有効！
2'. 要するに，（有界関数に限れば）supノルムによる収束を示すことに他ならない。


3. Cauchy Criterion (Cauchy列の一様収束版)
A sequence of functions (fn) defined on a set A⊂R converges uniformly on A
if and only if for every ε>0 there exists an N∈N such that |fn-fm|<ε
for all m,n>N and all x∈A

とにかく収束することだけを示す
※特に，収束先が分からないとき。
コーシー列の収束を示す。

Cauchy列が収束することを示す
全ての部分列が収束することと同値

積分の収束
要するに数列　→　差の絶対値が収束すればおｋ

ただ１つ
２つあると仮定して，引き算の絶対値 |x-x'| が０になることを示す。

Cauchy列が収束列の証明
 が仮定される(Cauchy列)。
1. x=x0 を固定して数列（のCauchy列）にしてしまう（ノルムの定義から絶対値を作り出すところがミソ）。
2. 実数の完備性により，数列{f(x0)} は極限を持つので，f(x0) が取れる。
3. 結局， の形が作れる。
4. 元のノルムが収束する形に辻褄を合わせて終わり。

Cauchy列が収束列の証明（部分列を使う方法）
 とできる。この番号を用いて部分列  を作る。
1. 適当な部分列の極限fがあって， を示す。
2.  より，Cauchy列と収束部分列の仮定から左辺→0が示される。

部分列の使い方
任意の部分列が同じ極限に収束する。⇒　収束する。
ある部分列が発散する。⇒　発散する。