可算公理

第一可算

Def.第一可算
高々可算個の近傍からなる基本近傍系をもつこと。

第一可算では，以下の重要な性質が成り立つ。

Th. 
点列コンパクト　⇔　コンパクト

Th. 
点列連続　⇔　連続

Th. 
点列閉包　＝　閉包

Rem. 
連続性は基本近傍系についてのみ調べれば十分である。

第一可算になる空間

距離空間
実際，

とおけば，これは可算個の近傍からなる基本近傍系である。

第二可算

Def.第二可算
高々可算個の開集合からなる開基をもつこと。

第二可算の恩恵

Th.
第二可算　⇒　第一可算

Th.
第二可算　⇒　リンデレーフ空間(任意の X の開被覆が可算部分被覆を持つ)

Rem.
連続性は開基について調べれば十分である。

第二可算になる空間

ユークリッド空間
実際，

とおけば，これは可算個の開集合からなる開基である。

可分な距離空間
実際，Xの高々可算稠密部分集合をDとして，

とおけば，これは可算個の開集合からなる開基である。

可分

Def.可分
高々可算濃度の稠密部分集合を持つこと。

Th.
第二可算　⇒　可分

離散空間において

高々可算　⇔　第二可算　⇔　可分