同型と射影

同型～同相
準同型～射影～一の分割 ←問題を局所化するのに使う。

線形空間

線形空間の同型

Def. 
U,V : Vector Sp.
U,Vが同型とは，U,Vの間に全単射線形写像が存在することをいう。
φ:U→V : Linear 1-to-1 onto Map.
このとき，φを線形同型という。

Th. n次元ベクトル空間の正体
体K上のn次元ベクトル空間Vはn次元数ベクトル空間Knと同型
[証明]は，Vに必ず基底がとれることを利用して，
基底に対する成分の組(x,y,z,...)をKnの数ベクトルと同一視する写像が線形同型になることを示す。

Th. 正則⇔全射⇔単射⇔核が自明
線形変換 φ:Kn→Kn の性質
これらの性質のうちのいずれか１つ（従って全て）が成り立てば，φは線形同型である。

内積空間の同型

線形同型（全単射線形写像）で，等長写像（あるいは内積を保つ）になるもの。

直交変換

ユニタリ変換

Hilbert空間の同型

代数学

群の準同型

環の準同型

体の同型

位相空間

同相

開集合を開集合に写す全単射写像
これによって位相構造が保たれる。

位相的性質

微分同相

Ex. 円と楕円は微分同相
しかし，Riemann多様体としての構造は違う。

距離空間として同型

同値なノルムを定めること？

商空間の自然な全射