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変分法の基本補題

Th. du Bois-Reymond（変分法の基本補題）
Ω⊂Rn 開集合
u \in L^1_{loc}(\Omega) が以下を満たせば，u(x)=0 {\rm a.e.}
{}^\forall \phi \in C_0^\infty(\Omega) \quad \int_\Omega u \phi dx = 0

Rem. 
Hölderの不等式により，（測度有限の空間上で）次が分かる。
p \leq q \Rightarrow L^q_{loc} \subset L^p_{loc}
従って，補題のf \in L^1_{loc}という条件は最も弱い可積分性であり，
一般の f \in L^p_{loc}(I)でも成り立つことが分かる。

これを使って以下を示すことができる。
Prop. 弱微分は存在すれば唯一
u' = g,h とする。
{}^\forall \phi \in C^\infty_0(\Omega)
\int_\Omega u \phi' dx = - \int_\Omega g \phi dx
\int_\Omega u \phi' dx = - \int_\Omega h \phi dx
両式を引いて \int_\Omega (g-h) \phi dx = 0
基本補題によって g = h \quad {\rm a.e.}
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最終更新：2009年08月18日 21:53
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