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変数変換と周辺化

指数分布とコーシー分布の計算 など参照

確率密度関数の変数変換は，微分同相に限って定義されている。
変数変換で計算しておいて，周辺化によって潰すテクニックを使えば，必要なものだけ取り出すことができる。

基本的な考え方と公式 

x \sim p_X(x)
y = \phi( x )
このとき，
p_Y(y) = p_X( \phi^{-1}(y) ) \Big| \{ \phi^{-1}(y) \}' \Big |

考え方
\int_{y_0}^{y_0 + \Delta y} p_Y(y) dy = \int_{\phi^{-1}( [y_0, y_0 + \Delta y] )} p_X(x) dx
\Delta y \to 0 の極限をとる（グラフの面積を考える）。
左辺：
\int_{y_0}^{y_0 + \Delta y} p_Y(y) dy \approx p_Y(y_0) \Delta y
右辺：
\int_{\phi^{-1}( [y_0, y_0 + \Delta y] )} p_X(x) dx \approx p_X( \phi^{-1}( y_0 ) ) \Delta x \left( \phi^{-1} ( [y_0, y_0 + \Delta y] ) \right) \approx p_X( \phi^{-1}( y_0 ) ) \Big| \frac{dx}{dy} \Big| \Delta y
\phi は区分的に単調であれば，逆像の数だけ和を考えることで対応できる。

Ex. X+Yの密度関数を求める方法 

1. X~f(x), Y~g(y) (f,g 密度関数)
1' X,Y 独立とする。→ 結合密度 h(x,y)=f(x)g(y)

2. u = x+y の密度関数 k を求めたい。
2' ダミー変換 v=y を導入して，変数変換φと捉える。
  \phi : \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} u \\ v\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}
   φは正則行列だから微分同相になっていることに注意する。そうなるようにダミーを導入した。

3. u,v の結合密度 k(u,v) を求める。
3' 次の変換公式に従う。
   k(u,v) = \mathcal{J}_{\phi^{-1}} h(\phi^{-1}(u,v)) 結合分布をu,vで引き戻して，ヤコビアンをかける。
3.1 \mathcal{J}_{\phi^{-1}} = \frac{\partial \ (x,y)}{\partial \ (u,v)} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1
3.2 ∴ k(u,v) = 1 \cdot h(u-v,v) = f(u-v)g(v)

4. 不要なダミー変数 v を周辺化によって潰す。得られた周辺分布が求めるものである。
p(u) := \int_{-\infty}^\infty k(u,v)dv = \int_{-\infty}^\infty f(u-v)g(v)dv = (f*g)(u)

ΣXn への拡張
\begin{pmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} とおいて u1 以外を周辺化すればよい。

このとき逆変換行列は次で与えられる。
\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix}

密度関数の変数変換 

重積分（微分形式）の変数変換
\phi : M := \mathbb{R}^n \ni \mathbf{u} \mapsto \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n =: N diffeo. に対し，
d \mathbf{x} = | \mathcal{J}_\phi | d \mathbf{u} = \Big| \frac{\partial \ \mathbf{x}}{\partial \ \mathbf{u}} \Big| d \mathbf{u}

密度関数の変数変換
Mの開集合Uとして，以下が成り立つ（重積分の変数変換）。
\int_{\phi(U)} h( \mathbf{x} ) d\mathbf{x} = \int_U h(\phi(\mathbf{u})) \Big| \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{u}} \Big| d\mathbf{u}
両辺は確率P(U)を表していることに注意すると，右辺は次のように書けなければならない。
 = \int_U k(\mathbf{u}) d\mathbf{u}
従って密度関数の変数変換として以下を得る。
k(\mathbf{u}) = h(\phi(\mathbf{u})) \Big| \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{u}} \Big|

ヤコビアンが一見吊り合わないような印象を与えるのは，
本来，ヤコビアンは密度関数ではなく微分形式のほうに付随するものだからである。
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最終更新：2011年10月23日 01:56
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