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対称行列の要点

1. 対称行列の空間はアーベル群
A, B \in \mathrm{Sym} \ \Rightarrow \ A + B \in \mathrm{Sym}
Rem. 積に関しては閉じていない！
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

2. 実対称行列の固有値は実数
2'. Hermite行列の固有値も実数

3. 実対称行列は直交行列で対角化可能
\^\forall A \in \mathrm{Sym} \ ^\exists U \in O \mbox{ s.t. } U^\mathrm{T} A U \in \mathrm{Diag}
3'. Hermite行列はUnitary行列で対角化可能

※正則行列による二次形式の対角化A \mapsto P^\mathrm{T} A Pを，二次形式の標準化という。
※特に，直交行列による二次形式の標準化(対角化)を，二次形式の主軸変換という。

4. Sylvesterの慣性法則
二次形式の符号数(p,q)は，標準化で不変
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最終更新：2011年05月21日 18:30
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