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対角行列

幾何学的意味

軸方向の拡大縮小

左からの作用　＝　行毎のスカラー倍
\begin{pmatrix} d_1 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_1 x \\ d_2 y \\ d_3 z \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} d_1 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_1 a_{11} & d_1 a_{12} & d_1 a_{13} \\ d_2 a_{21} & d_2 a_{22} & d_2 a_{23} \\ d_3 a_{31} & d_3 a_{32} & d_3 a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_1 \mathbf{a}_1 \\ d_2 \mathbf{a}_2 \\ d_3 \mathbf{a}_3 \end{pmatrix}
</pre>
<p>



右からかければ列毎のスカラー倍になる。



代数的性質


1. 対角行列は可換環（結合的多元環、代数）である。←三角行列としての性格
   D_1, D_2 \in \mathrm{Diag}(n)
   (i) D_1 + D_2 \in \mathrm{Diag}(n)
   (ii) D_1 D_2 \in \mathrm{Diag}(n)
   (iii) D_1 D_2 = D_2 D_1



2. 対角行列は上三角かつ下三角である。
   \mathrm{Diag}(n) \subset \mathrm{Upper}(n) \cap \mathrm{Lower}(n)



3. 対角行列は対称行列である。
   従って特に、正規行列である。
   \mathrm{Diag}(n) \subset \mathrm{Symmetric}(n) \subset \mathrm{Normal}(n)



Rem. 
三角行列と対称行列とは，全く異質の行列であることに注意！



対角行列のスペクトル分解


対角行列は正規行列であるから，特にスペクトル分解ができる。
（自明な対角化可能性から明らか）
\begin{pmatrix} d_1 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{pmatrix} = d_1 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + d_2 \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + d_3 \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}



ここから特に，\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} は第一成分を取り出す射影\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}であることなどが分かる。


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最終更新：2011年05月21日 22:48

                

                    
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