微分可能な関数

微分可能性

区間[a,b]で連続，(a,b)で微分可能

D(I)と書いてる本もたまにある。
平均値の定理が使えるギリギリの条件

Th. Rolle
f∈D(I)

Cor. 第２平均値定理(Cauchy)
f,g∈D(I)

Cor. 第１平均値定理(Lagrange)
f∈D(I)

C¹

次のようなノルムを入れることがある。

このノルムが完備なのかどうか知らない。
本当にノルムなのかどうかも知らない。

次の関数はC2でないことに注意

ただし定義域をとすればC∞になる。

C^k

D⊂Rに対し，は次のノルムでBanach空間

但し，はsupノルム

C^∞ 滑らかな関数

任意回の微分ができる関数のクラス
指数関数，多項式はこのクラスに属する。

Ex. ∞階微分可能だが，Taylor展開可能でない

C^ω 解析関数

Taylor展開できる関数のクラス
実関数ではC∞よりも強い条件だが，複素関数ではC∞と一致する。

調和関数

Liouvilleの定理が成り立つ。
Laplace方程式の解として特徴付けられる。