微分方程式の分類

ODEとPDE，およびSDE

Def. ODE

Def. PDE

Def. SDE

Def. Linear
適当な線形作用素Lでもって次の形にかける。

Def. 準線形

Def. 初期値問題（Cauchy問題）
Def. 境界値問題（Dirichlet問題）
Def. Neumann条件

「楕円型は平衡状態，放物型は拡散過程，双曲型は振動過程を記述している。」 (J.Jost)
「楕円型が一番性質が良い！」（某先輩のお言葉）←Dirichlet問題は変分問題の基本だからね。

Ex. Poisson方程式
R上の境界値問題

 
f,gがR上連続のとき，解は一意に存在する。
特に，f=0 のとき Laplace方程式 という。

拡散方程式（熱方程式）

波動方程式

Maxwell方程式は波動方程式！

Lorentz eq.
大気変動モデルから出てきた方程式。ローレンツアトラクタとか。

$\frac{dx}{dt} = -px+py$

$\frac{dy}{dt} = -xz+rx-y$

$\frac{dz}{dt} = xy-bz$

Painlevé transcendents
６本のすごいやつ。Wikipedia "Painleve transcendents"参照

Burgers eq.
乱流を表す方程式。

$\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

$\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = \triangle \mathbf{u}$

Navier-Stokes eq.
多次元Burgersに圧力項を足した方程式？

$\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\nabla p + \triangle \mathbf{u}$

最終更新：2011年10月05日 18:32

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