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曲面論の導入

曲面の定義 

Def. 曲面（砂川）
E : Euclidean Space (R3に種々の構造を入れたもの)
E⊃X subset
Xの各点pに対して，pを通る平面Xpと，Xp内のpの近傍V上定義されたなめらかな関数fで，次のものが存在するとき，Xを曲面という。
1. pを原点とし，Xpをxy平面とするxyz直交座標系において，関数fを z=f(x,y) と表したとき，
   f(0,0)=0, \ \frac{\partial f(0,0)}{\partial x}=0, \ \frac{\partial f(0,0)}{\partial y}=0
2. E内の点pの近傍で，以下を満たすものが存在する。
   X \cap U = \{ (x,y,f(x,y) | (x,y) \in V\}

つまり，Xの各点pで接平面Xpがあって，さらにXはpの近傍では接空間Xp上の関数fがあって，グラフ(x,y,f(x,y))として表現できることを曲面の定義としている。

Eの開集合とXとの共通部分をXの開集合という。

平面の理論 

平面の方程式（標準形）
ax + by + cz + d = 0

Cor. n=(a,b,c)は法ベクトル
実際，平面の方程式を満たす点を２つとってきて，両辺を引くと，以下のようになる。
ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 0
ax_2 + by_2 + cz_2 + d = 0
\Rightarrow \quad  a(x_1-x_2) + b(y_1-y_2) + c(z_1-z_2) = 0
\Leftrightarrow \quad \mathbf{n} \cdot (\mathbf{p}_1 - \mathbf{p}_2) = 0
p1とp2のとり方は任意だったから，(p1-p2)は平面内の任意のベクトルを表している。
従ってnは平面内の任意のベクトルに直交する元なので，法ベクトルである。

平面の方程式（各軸上の交点が指定されている）
x軸との交点p, y軸との交点q, z軸との交点r をそれぞれ通る。
\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 1

陰関数表示 

\{ x \in \mathbb{R}^3 | F(x) = 0 \}

点pにおける接平面の方程式
\frac{\partial F(x_0)}{\partial x}(x-x_0) + \frac{\partial F(y_0)}{\partial y}(y-y_0) + \frac{\partial F(z_0)}{\partial z}(z-z_0) = 0

[導出（略式）]
Fの外微分において， 接平面上では dF=0 となる。
dF = \frac{\partial F(x_0)}{\partial x}dx + \frac{\partial F(y_0)}{\partial y}dy + \frac{\partial F(z_0)}{\partial z}dz = 0
微分形式dを微小変化Δと捉えなおす。
\Delta F = \frac{\partial F(x_0)}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial F(y_0)}{\partial y}\Delta y + \frac{\partial F(z_0)}{\partial z}\Delta z = 0
これを開き直って平面とみなせば求める式になる。

[導出（？）]
点 pにおける接ベクトルは，\{ \frac{\partial F(x^i_0)}{\partial x^i} \ (i=1,2,3) \} の線形結合で表される。
言い換えると，接空間は以下で与えられる。
T_p M = \left \langle \frac{\partial F(x^i_0)}{\partial x^i} \ (i=1,2,3) \right \rangle
従って，点pにおける法ベクトルを考えることができて，次で与えられる。
\mathbf{n}_p = (\frac{\partial F(x_0)}{\partial x},\frac{\partial F(y_0)}{\partial y},\frac{\partial F(z_0)}{\partial z})
この法ベクトルに直交する平面として，以下が得られる。
\mathbf{n} \cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})=0

パラメータ表示 

Def. 曲面のパラメータ表示
R2⊃U open
S:U→E injective.
Sのパラメータu,vによる偏微分Su,SvがUの各点で線形独立ならば X=S(U) は曲面である。
このときさらに，pにおける接空間の正体はSu,Svが張る2-dim.部分空間と同型。
T_pX = \{ p + a S_u(p) + b S_v(p) | a,b \in \mathbb{R}^2\} = p + \left \langle S_u(p),S_v(p)\right \rangle

Ex. 
\mathbf{r}(u,v) = \begin{pmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{pmatrix}
x,y,z : R2⊃U → R smooth.

Def. 第一基本形式の係数
E := \langle S_u,S_u \rangle = \left( \frac{\partial x}{\partial u} \right)^2 + \left( \frac{\partial y}{\partial u} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial u} \right)^2 
F := \langle S_u,S_v \rangle = \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}  + \frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v} 
G := \langle S_v,S_v \rangle = \left( \frac{\partial x}{\partial v} \right)^2 + \left( \frac{\partial y}{\partial v} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial v} \right)^2 

特に以下が成り立つ。
g := EG-F^2 = \| S_u \times S_v \|^2 \>0
\mathbf{n} := \frac{S_u \times S_v }{\| S_u \times S_v\|^2} 単位法ベクトル

Def. ベクトル場
滑らかなベクトル値関数 φ(u,v):U→E のこと。
各点 p=S(u,v) に対してφ(u,v)が接空間TpXの元になれば接ベクトル場という。
\phi(S^{-1}(p)) \in T_p X ただし，TpXとEを同一視している。
逆に，常に接空間（接平面）に垂直になるとき法ベクトル場という。

Def. 第二基本形式の係数
L := \langle S_{uu}, \mathbf{n} \rangle
M := \langle S_{uv}, \mathbf{n} \rangle
N := \langle S_{vv}, \mathbf{n} \rangle

Th. Gauss曲率
K(p) = \frac{LN-M^2}{EG-F^2}

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最終更新：2009年08月26日 15:29
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