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有界変動と絶対連続

絶対連続 AC 

1. 絶対連続 ⇒ 一様連続
2. 絶対連続 ⇒ 有界変動
3. fがR全域で微分可能で，しかもf'が有界ならば，fは絶対連続（平均値の定理）
4. a.e.で微分可能
5. L1関数の不定積分で表される。

x(t) = \alpha + \int^t_0 y(s)ds \mbox{ for some } y \in L^1[a,b] と表せる。

区間I=[a,b]上の関数f:R→R
Iの互いに素な部分区間  J_k := (a_k,b_k)
{}^\forall \epsilon>0 {}^\exists \delta(\epsilon)>0
   s.t. \sum_{k=1}^N |b_k-a_k| < \delta \Rightarrow \sum_{k=1}^N |f(b_k)-f(a_k)| < \epsilon

Rem.
和永先生は開区間で定義してた。
柴田先生も開区間で定義してた。

Th. 基本定理との関係(Lebesgue)
有界関数 F:[a,b]→R が絶対連続であるための必要十分条件は，
ある L可積分関数 f∈L1(a,b] の不定積分で表されることである。
F(x)-F(a) = \int_a^x f(y) dy
さらに，このとき a.e.x∈[a,b] で以下が成り立つ。
F'(x) = f(x) < \infty

Th. Lipschitzとの関係
絶対連続かつ微分が有界　⇒　Lipschitz

Ex. 
f(x)=x は絶対連続関数

有界変動関数 BV 

区間[a,b]上の関数f:R→Rとする。
Def. 区間[a,b]の有限分割Δ
\Delta : a=x_0 < x_1 < \cdots < x_N = b
Def. 区間[a,b]におけるf(x)の全変動
V(f:[a,b]) := \sup_{\Delta \in \mathcal{P}} V_\Delta (f)
where, V_\Delta(f) := \sum_{k=1}^{N} \big| f(x_{k}) - f(x_{k-1})\big|
Def. 区間[a,b]上の有界変動関数
V( f : [a,b] ) が有界な関数

Lem. 単調関数の全変動
単調関数の全変動は，区間 [a,b] の両端における値の差で与えられる。
V(f) = \big| f(b) - f(a) \big|
Cor. 有界な単調関数は有界変動関数

Th. 
f \in C^0 \cap PC^1
   PC1 : 区分的にC1級
\Rightarrow V(f) = \int_a^b \big| f'(x) \big| dx

Th.有界変動関数の正体
２つの単調関数の差として表される。

Th. Lebesgue
有界変動関数はa.e.で微分可能

Th. 有界閉区間上の有界変動関数ならRiemann-Stieltjes積分可能
I:BCI, g∈BV(I), f∈C(I)
このとき，gによるStieltjes積分 \int_a^b f(t)dg(t) が存在する。

Ex. 
以下は区間[0,1]上の有界変動関数
f(x) := \begin{cases} 1 & x \in [0,\frac{1}{2} ) \\ 0 & x \in [\frac{1}{2}, 1]\end{cases}
f(x) := \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x} & x \in (0,1] \\ 0 & x =0 \end{cases}

Ex. 
以下は区間[0,1]上の有界変動関数でない
f(x) := \begin{cases} 1 & x \in \mathbb{Q}_{[0,1]} \\ 0 & \mbox{otherwise} \end{cases}
f(x) := \begin{cases} x \sin \frac{1}{x} & x \in (0,1] \\ 0 & x =0 \end{cases}
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最終更新：2009年08月18日 22:50
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