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期待値計算のミソ

pに従う確率変数 Xi をパラメータとして定まる関数の期待値を計算する。 

 \mathbb{E}[ f(X_1, X_2, \cdots, X_n) ] = \int_\Omega f(x_1,x_2, \cdots, x_n) p(x_1, x_2, \cdots, x_n) dx_1 dx_2 \cdots dx_n

確率変数は，Xiという値として決まってはいるが，期待値を計算する積分の中では xiという積分変数として動くようになることがポイント！！！

Ex. モンテカルロ積分
モンテカルロ積分の期待値はもとの積分に一致する。
I_n := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{f(x_i)}{p(x_i)} 
 \mathbb{E}[ I_n ] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \int_\Omega \frac{f(x)}{p(x)} p(x) dx  = \int_\Omega f(x) dx = I

Ex. ニューラルネット
他の独立変数を含んだ例（積分変換）。
g_n(\mathbf{x}) := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n c(\mathbf{a}_i, b_i) \phi( \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{x} - b_i )
\mathbb{E}[g_n(\mathbf{x})] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \int_\Omega c(\mathbf{a}, b) \phi( \mathbf{a} \cdot \mathbf{x} - b ) p(\mathbf{a},b)d\mathbf{a}db 
            = \int_\Omega c(\mathbf{a}, b) \phi( \mathbf{a} \cdot \mathbf{x} - b ) p(\mathbf{a},b)d\mathbf{a}db = f(\mathbf{x})
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最終更新：2010年05月29日 15:37
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