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正規系の解き方

高階常微分方程式との関係
y^{(n)} = f(x, y, y', \cdots, y^{(n-1)}) は，次のようにして正規系に帰着できる。
1. y_1 = y, y_2 = y', \cdots, y_n=y^{(n-1)} とおく。
2. \begin{bmatrix} y'_1 \\ \vdots \\ y'_{(n-1)} \\ y'_n \end{bmatrix} = \left( \begin{bmatrix} y_2 \\ \vdots \\ y_n \\ f(x,y_1,\cdots,y_n) \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 0 & I_{n-1} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ f(\cdots)\end{bmatrix}

正規系
\begin{cases} \mathbf{x}' = A \mathbf{x} + \mathbf{f} \\ \mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0 \end{cases}

同次方程式の解
解は次で与えられる。
\mathbf{x} = e^{At}\mathbf{x}_0
要するにこれをどう計算するかが問題。

解の具体的な計算法
1. 適当な正則行列Pによって，AをJordan標準形Λにできる。
   P^{-1}AP = \Lambda
2. e^{\Lambda t} を計算する。
3. e^{At} = e^{P \Lambda P^{-1} t} = P e^{\Lambda t} P^{-1} によって計算できる。

1' Jordan標準形の求め方
Jordan標準形を見るべし。

2' e^{\Lambda t}の計算
Jordan標準形はJordan細胞の直和であり，Jordan細胞の正体は\lambda I_k + N_{k-1}である。(Nkはk乗すると0になる冪零行列)
a) e^{A \oplus B} = e^A \oplus e^B が成り立つので，細胞毎に計算すればよい。
b) A,B 可換のとき，e^{A+B}=e^A e^B が成り立つので，I,N 別々に計算すればよい。

b.1 e^{\lambda I t} = e^{\lambda t} I
b.2 e^{N_{k-1}t} = \sum_{n=0}^{k-1} \frac{t^k}{(k-1)!}N_{k-1}^n
b.3 e^{(\lambda I_k + N_{k-1})t} = e^{\lambda t} \begin{pmatrix} 1 & t & \cdots & \frac{t^k}{k!} \\ 0 & 1 & \cdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & t \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{pmatrix}

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最終更新：2009年08月23日 22:38
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