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正規行列

Normal matrix

対称行列とエルミート行列および直交行列とユニタリ行列も参照



Def. 正規行列
A \in \mathrm{Mat}(n) が正規行列であるとは，AとA*が可換
A^* A = A A^*
となることをいう。

Ex. 
ユニタリ行列、直交行列
エルミート行列、対称行列
歪エルミート行列，歪対称行列（交代行列）など。

Th. Toeplitz
正規行列はユニタリ相似変換によって対角化可能である。
i.e. ^\forall A \in \mathrm{Normal}(n) \ {}^\exists U \in U(n) \mbox{ s.t. } A = U^* D U
逆に、対角行列をユニタリ相似変換したものU^* D Uは正規行列である。

Rem. 
実は，単位固有ベクトルを並べたものがUの正体であって，
U^* D Uという書き方は以下で述べるスペクトル分解と等価である。
従って，U^* D Uを以てスペクトル分解と宣う本もある。

Th. 
正規行列の相異なる固有値に対する固有空間は互いに直交する。
さらに，相異なる固有値に対する固有空間の全体は，元の空間V = \mathbb{R}^nの直和分解を与える。
V = W_{\lambda_1} \dot{+} \cdots \dot{+} W_{\lambda_r} \quad( r \leq n )

Cor. スペクトル分解
正規行列Aに対して，スペクトル分解が存在する。
P_i : V \to W_{\lambda_i} 固有空間への正射影
1-i. \sum P_i = I ←射影が「単位の分解」を為す。という。
1-ii. P_i P_j = \delta_{ij} P_i
2. A = \sum \lambda_i P_i

Cor. 行列のべき
A^{\frac{1}{2}} = \sum \sqrt{ \lambda_i } P_i
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最終更新：2011年05月21日 22:44
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