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理解を深める問題

アハ体験問題

その他 

well-definedness
つぎの線形作用素が well-defined であることを確かめよ。
I:=(0,1)
T:C(\overline{I}) \to C(\overline{I}); \ x(t) \mapsto \int_0^t x(s)ds
 ←ちゃんと積分が存在するかどうか確かめればおｋ

位相

無限個の開集合の共通部分が空でない閉集合になる例を挙げよ。
Ans. 
O_n := (-\frac{1}{n},\frac{1}{n}) \quad (n=1,2,\cdots)

有理数体QはRの位相で開集合か，閉集合か，あるいはどちらでもないか。
Hint
任意のRの元に収束するQの列が存在する。

極限

次の極限を求めよ
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( \sin x \right)^{\tan x}

上極限・下極限を求めよ
a_n = (-1)^n
a_n = 1 + \frac{(-1)^n}{2^n}
a_n = \sin \frac{n \pi}{4}
a_{2n-1} = 0, a_{2n} = n
\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\cdots,\frac{1}{n},\cdots, \frac{n-1}{n},\cdots

次は収束するか？どこで一様収束するか？
f_n(x) := \frac{nx}{1+nx^2}
f_n(x) := \frac{nx}{1+n^2x^2}
f_n(x) := \frac{n^2x}{1+nx^2}

以下を示せ
\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha \ \Rightarrow \ \lim_{n \to \infty} \frac{ a_1 + \cdots + a_n}{n} = \alpha

連続性

掛け算は一様連続でないことを示せ。
f(x,y) := xy

次の関数は原点で連続か。また微分係数を求めよ。
g_n(x) := \begin{cases} x^n \sin \frac{1}{x} & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}

複素数

次の極限を求めよ
\lim_{z \to i} \frac{z-i}{z^3 + i}
←1. w=z-i とおく。
←2. 部分分数分解してもおｋ

微分

C∞級であることを証明せよ（帰納法）
\begin{cases} e^{-\frac{1}{1-x^2}} & |x|<1 \\ 0 & || \geq 1\end{cases}

次を証明せよ。
\frac{d \, \log x}{dx} = \frac{1}{x} \quad (x > 0)

積分

計算せよ
ガウス分布の３次モーメントが０
\int_\mathbb{R} x^3 \exp \left( -\frac{x^2}{2} \right) dx

次の積分を計算せよ
\int_0^1\int_0^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dxdy
\int_0^1\int_0^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dydx

次の積分を計算せよ
\int_\mathbb{R} \frac{x^2}{x^2+a^2}e^{i \oemga x} dx

次の積分を計算せよ（Dirichlet積分，あるいはSinc関数の積分）
\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx

微分方程式

次を証明せよ。
f:[a,b]→R conti. (a,b)で微分可能
f'(x)=c \, (const.) \, \Rightarrow f(x)=cx+ {}^\exists d

Poincare予想

単連結閉三次元多様体は球面に位相同型である。
NYTによるペレルマンの取材記事外部リンク
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最終更新：2011年06月16日 22:56
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