代数構造，位相構造，順序構造 とか。
特徴づけ ペアノの公理とか？
他との関係 加法に関して群にする → 整数
特徴づけ 有理整数環 一意分解整域(UFD) 単項イデアル整域(PID)
他との関係 乗法に関して群にする → 有理数
特徴づけ 有理数体
他との関係 完備化 → 実数 （実は公理） 代数的閉包 → 複素数
特徴づけ 完備性 Rnの系列の中で見れば，唯一 n=1 の場合だけが順序体
特徴づけ 代数的閉体 複素関数では，正則関数と解析関数が一致する。
特徴づけ ユークリッド距離による位相を入れる。 ノルム空間 有限次元空間の任意の２つのノルムは互いに同値 ←つまり，ノルムは本質的に１つしか入らない！ 代数的基底を持つ 線形写像について，有界性 ⇔ 連続性，全射 ⇔ 単射 収束について，弱収束＝成分毎の収束＝強収束 有界閉集合 ⇔ コンパクト（ ⇔ 点列コンパクト） 有界閉⇔コンパクト：Heine-Borel ←∞次元では成り立たない。 コンパクト⇔点列コンパクト：距離空間で成り立つ。 有界点列は収束部分列を持つ：Bolzano-Weierstrassの拡張
特徴づけ ザリスキ位相
特徴づけ Lie群（群構造をもつ位相空間）
他との関係 部分群 → 直交群
特徴づけ 有限次元空間の代数構造は次元のみで決まる。
他との関係 ノルムを入れる → ノルム空間 内積を入れる → 内積空間 半正定二次形式を入れる → 距離空間 双線形形式を入れる → 同伴二次形式を誘導 直積をとる → 直積空間 双対をとる → 双対空間 係数が環 → R-加群
計量ベクトル空間，プレヒルベルト空間ともいう。
特徴づけ 直交を考えることができる。 正規直交を保つ変換として，ユニタリ変換を考えることができる。 （射影は T2=T なる有界線形作用素として抽象化されるので，バナッハ空間で考えることができる）
他との関係 ノルムを誘導 → ノルム空間 → （さらに完備化）ヒルベルト空間 直交元の全体 → 直交補空間
特徴づけ ベクトル（線形空間の点）の大きさを測れるようにしたもの。 連結 ←距離空間は必ずしも連結でない（離散位相が作れる） 有限次元空間では，全てのノルムは同値
ノルム空間のあいだの線形写像を線形作用素と呼ぶ。 特に，線形作用素なら連続性と有界性は同値。 作用素ノルムを考えることができる。
点列を考えることに意味を持つ。
ノルムを誘導する内積が常に存在するわけではない（中線定理の結論を満たすことが条件） 内積から誘導されたノルムは，成分表示において座標系に依らないベクトル固有の量となる。 一方，他のp乗ノルムは座標変換によって値を変えてしまう。 しかし，だからといって無分別に２乗ノルムを用いるべきではないと伊理先生は警告している。
他との関係 完備化 → バナッハ空間（←完備距離空間とは違うのか？） 距離を誘導 → 距離空間 双対をとる → 作用素ノルムによって再びノルム空間 中線公理を満たす → ノルムを誘導する内積が構成できる。（内積→ノルムの逆を辿れる） 直積をとる → 直積ノルム空間（直積ノルム）を入れる。 作用素のグラフ → グラフノルム（
）を入れる
特徴づけ CONSほど便利なものは考えられない。Hahn-Banachが有力。 フレシェ微分，ガトー微分を考えられる。 反射的バナッハ空間ならば，弱Cauchy列が弱収束する。
他との関係 双対をとる → 作用素ノルムによって再びバナッハ空間
特徴づけ 距離位相（開球を開集合とする位相）が入る。 線形構造などは特に持たないので，ノルム空間よりも抽象的。 Hausdorff，第一可算，パラコンパクト，完全正規 特に，一点は閉集合 完備かつ全有界（プレコンパクト） ⇔ コンパクト ⇔ 点列コンパクト 第一可算性より，点列連続 ⇔ 各点連続
距離はノルムから誘導されるとは限らない。
他との関係 完備化 → 完備距離空間
特徴づけ 台が閉集合 → supノルム（一様収束位相）で完備（つまりバナッハ） 代数構造
特徴づけ 線形空間に内積を入れた空間 リースの表現定理 しかも，誘導されたノルムの位相で完備 要するにバナッハ空間
他との関係 有限次ユークリッド空間 も，ヒルベルト空間 変換H→Hの全体 ⇒ バナッハ環
特徴づけ ルベーグ測度 Ω開集合，1≦p＜∞のとき，
特徴づけ Lp関数のうち，弱微分が再びLpになる関数を集めたもの。
