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空間メモ（仮）

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●表記法

x ∈ R^n
　⇒ x = (x_1, ...,x_n)^T : 列ベクトル
座標ベクトル（Vと同型なK^nの元）は列ベクトルにしてみる。
x = (x_1 ... x_n)^T

x ∈ R_n
　⇒ x = (x^1 ... x^n) : 行ベクトル
基底ベクトル（Vの元そのもの）は行ベクトルにしてみる。
B = [b^1 b^2 ... b^n]　←ていうか横に並べて行列になっている。

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●表記その２
増井さんは，
列ベクトル＝上付き添字＝反変ベクトル
行ベクトル＝下付き添字＝共変ベクトル
として表記していた。

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●線形空間
V:set, K:field
V上の演算u+vと，係数倍kvが定義されていて，

(V1) 和の結合律 (u+v)+w=u+(v+w)
(V2) 零元の存在 ∃0 v+0=v
(V3) 和の逆元の存在 ∃(-v) v+(-v)=0
(V4) 和の交換律 u+v =v+u

(V5) スカラー倍の分配律 k(u+v)=ku+kv
(V6) Kの和とスカラー倍の分配律 (k+h)v=kv+hv
(V7) Kの積とスカラー倍の結合律 (kh)v=k(hv)
(V8) スカラー倍の単位元 1v=v

※Kが持つ演算（+,×）とVが持つ演算（+,×）の４種類の演算が混在していることに注意する。
※さらにベクトルの積を入れると多元環と呼ばれる。（斜体？）
※係数体ではなく係数環Rに条件を緩めると環上の加群。（ベクトル空間といえば環上の加群を指すこともある。）

★線形空間の例
n次元ユークリッド空間，関数空間，
部分空間の和空間と共通部分
線形写像の像と核
双対空間，商空間

●部分空間
V : linear Sp.
φ≠W⊂V : subset of V
(1) 和で閉じている
(2) 係数倍で閉じている
⇔ au+kv∈W

●線形包（？）Span（？）
<v_1,...,v_n> := { a_1 v_1 + ... + a_n v_n の全体 }
※Span(v_1,...,v_n)とも書く？

●線形独立
Σa_n v_n=0 ⇒ a_i=0 ∀i

●基底 S
S⊂V : finite subset of V
(1) Sの元が線形独立
(2) <S> = V
このとき，dimV := #SをVの次元という。

◆基底の存在定理
任意のベクトル空間は基底を持ち，
(1) 基底の濃度は基底の取り方に依らない。
(2) 基底を固定すれば，その上での成分表示は一意。

◆成分表示とK^nの同型
V : finite linear Sp.
dim V = n ⇒ V は K^n と同型

◆次元定理
V : finite linear Sp.
U,W : subSp. of V
U+W := {u+w|u∈U,w∈W}　部分空間の和空間
dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U∩W)

●線形写像
U,V : linear Sp. over K
f:U→V : map
(1) f(u+v)=f(u)+f(v)
(2) f(kv)=kf(v)

特に，bijectiveのとき同型写像と言う
特に，Ker f = {0}のとき正則(写像)という。

●階数
f:U→V linear map
rank(f) := dim(Im f)

◆階数の性質
rank AB ≦ min{rank A, rank B}

◆線形写像の次元定理
U,V : finite linear Sp.
f:U→V
dim(V)=dim(Im f)+dim(Ker f)

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位相構造
代数構造
線形空間

↑内積はナニ構造？

Vector Space
Normed Space

Metric Space
Banach Space

pre-Hilbert/Inner Product/Unitary Space
Hilbert Space

Lebesgue Space
Sobolev Space

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群
環
可換環
体

環上の加群
多元環

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多様体
位相多様体
微分可能多様体
代数多様体
組合せ多様体
統計多様体
ケーラー多様体

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