Def. 群(group) 群(G,*)は単位逆結合 G0.G1.
G2.
G3.
さらに，可換律を満たすとき，Abel群または可換群という。 G4.
可換群に対しては 演算+ 単位元0 逆元-a で表し，このとき加法群ともいう。 #Gを群の位数(order)という。
Th. 単位元，逆元はユニーク
Th. 部分群となるための条件 G：group, φ≠H⊂G：subset HがGの部分群となるための十分条件は，以下を満たすことである。
Def. 変換群
ある集合に作用する群のこと。
対称群は集合{1,2,...,n}の変換群であり，
一般線形群はRnの線形変換群である。
Def. 群の作用 G：group, X：set 群Gは集合Xに左から作用するあるいはXは左G集合であるとは， 次の写像が与えられていて，以下の条件を満たすことをいう。 1.
2.
つまり集合Xの要素を引っ掻き回す操作の集合Gが群になっていて， その群が単位的（何もしない恒等操作持つこと）かつ，結合的であること。
Def. 正規部分群 S⊂G : sub group
Def. Lie群
Def. Galois群
Ex. トリビアルな有限群 1. 単位元だけ。トリビアル2. 1のn乗根は可換群
Ex. 素体 Zp(p:素数)はpを法とする×で可換群
Ex. トリビアルな加法群Ex. 倍数による部分群
Ex. トリビアルな乗法群これらはまた，一般線形群の特殊な場合（n=1）に相当する。
Ex. 行列による群 正方行列の全体は，行列の和で加法群
Ex. 一般線形群（正則行列の全体）GLは典型的な非可換軍である。 また，GL は位相空間でもあるからLie群であり， 微分可能多様体であり，代数多様体にもなる。 参照 はてな「一般線形群」がまとまっている。 Ex. 直交群 GL(R)の部分群
Ex. ユニタリ群 GL(C)の部分群
Ex. 自己同型群 「群の作用」で出てくる。 群Gに対し，自己同型の全体は写像の合成を積として群になる。
Ex. 対称群（置換群） X：finite set, n=|X|Prop. 対称群の置換による表示 有限集合だから具体的に書き下してしまうことができる。 その数はn次対称群のとき n! 個。
Prop. 対称群の互換の積による表示 任意の置換はさらに，互換の積にできる。
Ex. 交代群 対称群の部分群として，偶置換だけを取り出した群が重要。
Ex. 格子群
