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行列の微分3

行列の積と同じ形式で作用させる
D := \left( \partial_{ij} \right) 微分作用素を並べた行列
A := \left( a_{ij} \right) 関数を並べた行列
\left( DA \right)_{ij} := \partial_{ik}a_{kj}  行列の積と同じ形式の積和（作用和）で定義する。

ライプニッツルール
D(AB) = (DA)B + (D * A)B = (DA)B + (A^\mathrm{T} D^\mathrm{T})^\mathrm{T}B
ただし
(D*A)_{ij} := \partial_{ik} * a_{kj} := a_{kj}\partial_{ik}
によって新たな乗法*を定める。
すなわち，D*A は新たな微分作用素を定める。
ただし，最右辺に示すように，D が A に作用しないように計算すれば同じ結果を得る。
\left( (D*A)B \right)_{ij} := (\partial_{ik}*a_{kl}) b_{lj} = a_{kl} \partial_{ik} b_{lj} は成分計算でよく使う。

※Dが線形作用素であることは明らか

公式
\frac{\partial}{\partial a} a^\mathrm{T} b = b
上式において，（a が列ベクトルの場合）
\frac{\partial}{\partial a} は列ベクトルでなくては行列の積が定義できないので，自然に列ベクトルであると分かる。
※逆に a が行ベクトルの場合には，列ベクトルになることも分かる。

公式
D_A = \left( \partial_{ij} \right) := \left( \frac{\partial}{\partial a_{ij}} \right) のとき，

 D_A A = \left( \partial_{ik} a_{kj} \right) = \left( \delta_{ik}\delta_{kj} \right) = \left( \delta_{ij} \right) = I ※m次正方行列に限る
 D_A A^\mathrm{T} = \left( \partial_{ik} a_{jk} \right) = \left( \delta_{ij}\delta_{kk} \right) = \left( n \delta_{ij} \right) = n I ※ (m,n)行列の場合

D_A A^2 = A+A^\mathrm{T}
実際，
D_A A^2 = (D_A A)A + (D_A*A)A = A + \left( \left( \partial_{ik} * a_{kl} \right) a_{lj} \right)
\left( \left( \partial_{ik} * a_{kl} \right) a_{lj} = a_{kl} \partial_{ik} a_{lj}= a_{kl} \delta_{il}\delta_{kj} = a_{ji}  = (A^\mathrm{T})_{ij} \right)

D_A (A^\mathrm{T} A) = (n+1)A
実際，
D_A (A^\mathrm{T} A) = (D_A A^\mathrm{T})A + (D_A * A^\mathrm{T})A = nA + \left( \left( \partial_{ik} * a_{lk} \right) a_{lj}\right)
\left( \left( \partial_{ik} * a_{lk} \right) a_{lj} = a_{lk} \partial_{ik} a_{lj}= a_{lk} \delta_{il}\delta_{kj} = a_{ij}  = (A)_{ij} \right)
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最終更新：2013年11月18日 21:20
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