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行列の極限と指数対数

位相の入れ方

リー群リー環（行列の指数関数が活躍する）などの文脈ではフロベニウスノルムで位相を入れることが多い。
\| A \|_{\rm Fro} := \sqrt{ \sum |a_{ij}|^2 }

行列とベクトルの並べ替えによる線形同型\phi : \mathrm{Mat}(n,\mathbb{K}) \to \mathbb{K}^{n^2}; ( a_{ij} ) \mapsto ( a_{11}, \cdots, a_{nn} )
をとり，
\| A \| := \| \phi( A )\|
によってノルムを定義すると，これで等距離同型(isometry)になった。わけ。

このノルムで，
\lim_{m \to \infty} A_m = A \ \Leftrightarrow \ \lim_{m \to \infty} \| A_m - A \| = 0
によって収束を定義する。
つまり有限次元ユークリッド空間の標準位相であるから，成分毎の収束と同値。
\Leftrightarrow \ {}^\forall i,j \ : \ a_{ij}^{(n)} \to a^{(n)}

作用素ノルムで考えてもおｋ（フロベニウスと同値な位相を誘導する）
\| A \|_{\rm Opr} := \sup_{\| x \| = 1 } \| Ax \|

行列ノルムの性質（劣乗法性）←最大値ノルムは満たさない。フロベニウスノルム，作用素ノルム，シャッテンノルムはおｋ
\| AB \| \leq \| A \| \| B \|

極限の基本

公式
A_n \to A, B_n \to B \ \Rightarrow \ A_n+B_n \to A+B, A_n B_n \to AB「群演算は連続」
A_n \to A, \alpha_n \to \alpha \ \Rightarrow \alpha_n A_n \to \alpha A

A_n \to A \ \Rightarrow A_n^\mathrm{T} \to A^\mathrm{T}, \overline{A}_n \to \overline{A}, A^*_n \to A^*

連続写像

f : \mathrm{Mat}(n, \mathbb{K}) \to Y （Y は適当な位相空間。実数体，行列空間など）
「fがAで連続」という条件は，以下の３つの条件とそれぞれ同値
A_m \to A \ \Rightarrow \ f(A_m) \to f(A) 点列連続
f^{-1}( O_Y ) \mbox{ open in } \mathrm{Mat}(n, \mathbb{K}) 逆像が開写像
f^{-1}( F_Y ) \mbox{ closed in }\mathrm{Mat}(n, \mathbb{K}) 逆像が閉写像

例
f_P : \mathrm{Mat}(n, \mathbb{K}) \to \mathrm{Mat}(n, \mathbb{K}); A \mapsto P A P^{-1} \quad P \in GL(n, \mathbb{K}) 相似写像は連続

応用（一般線形群は開集合，特殊線形群は閉集合）
GL(n, \mathbb{K}) := \{ A \in \mathrm{Mat}(n,\mathbb{R}) | A \mbox{ is regular } \}
SL(n, \mathbb{K}) := \{ A \in GL(n,\mathbb{K}) | \det = 1 \}
\det : \mathrm{Mat}(n,\mathbb{K}) \to \mathbb{K} は成分の多項式なので連続
これを使って
\det^{-1}( \mathbb{K}^\cross ) = GL(n, \mathbb{K}) 左辺はKの開集合
\det^{-1}( \{ 1 \} ) = SL(n, \mathbb{K}) 右辺はKの閉集合
より，それぞれ det の連続性から示される。

応用（直交行列は閉集合）
O(n) := \{ A \in \mathrm{Mat}(n,\mathbb{R}) | A^{\rm T} A = I \}
f(A) = A^\mathrm{T} A は連続（∵転置と積の合成写像）
O(n) = f^{-1}( \{ I \} )
右辺の一点集合は閉集合であるから，fの連続性によりO(n)もMat(n, R or C)の閉集合

べき乗を計算するためのテクニック

1. 三角行列の対角成分はそのままべき乗
\begin{pmatrix} \lambda_{11} & & * \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_{nn} \end{pmatrix}^m = \begin{pmatrix} \lambda_{11}^m & & * \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_{nn}^m \end{pmatrix}

任意の正方行列は適当な正則行列を使って，複素数の範囲で三角化可能なので，
対角成分だけの議論ならこのテクニックでどうにかなる。

2. べき零あるいは擬周期性
{}^\exists k : A^k = O 高々 k まで計算するだけ
{}^\exists k : A^k = a_{k-1} A^{k-1} + \cdots + a_0 I  まず k まで計算して，あとは漸化式

不等式
A, B \in \mathrm{Mat}(n, \mathbb{K}); \ M := \max{ \| A \|, \| B \| } 
\| A^m - B^m \| \leq m M^{m-1} \| A - B \| \quad \mbox{ for all } m \in \mathbb{N}

行列の指数関数

\exp : \mathrm{Mat}(n, \mathbb{K}) \to \mathrm{Mat}(n, \mathbb{K})
\exp(A) := \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m !} A^m

全域で存在
\Big \| \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m !} A^m \Big \| \leq \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m !}  \| A^m \| \leq \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m !} \| A \| ^m = \exp \| A \|

連続性
A, B \in \mathrm{Mat}(n, \mathbb{K}); \ M := \max{ \| A \|, \| B \| } 
\| \exp A - \exp B \| \leq \exp M \| A - B \| を用いて示される。

例
\exp \begin{pmatrix} s & t \\ -t & s \end{pmatrix} = \exp s \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix}
\exp \begin{pmatrix} \lambda_{11} & & * \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_{nn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \exp \lambda_{11} & & * \\ & \ddots & \\ 0 & & \exp \lambda_{nn} \end{pmatrix} 

公式
1. AB=BA \ \Rightarrow \ \exp(A+B) = \exp(A) \exp(B)
2. A \in \mathrm{Mat}(n, \mathbb{K}) \ \Rightarrow \ \exp(A) \in GL(n,\mathbb{K})
    ( \exp A )^{-1} = \exp( -A )
3. ( \exp A )^\mathrm{T} = \exp A^\mathrm{T}, ( \exp A )^* = \exp A^*
4. \det \exp A = \exp \tr A 
5. P \exp A P^{-1} = \exp P A P^{-1}

注意（単射でない）
X=O \ \Rightarrow \ \exp X = I だが，逆は成り立たない！
\exp X = I \ \Rightarrow \ X = O \mbox{ or } \begin{pmatrix} 0 & -2 m \pi \\ 2 m \pi & 0 \end{pmatrix} など。この形に限るかどうかは不明

対数関数

\log A := \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{m-1}}{m} (A-I)^m \quad \mbox{ for } \| A - I \|<1 

いつ逆写像になるか？
1. \| A \| < \log 2 \ \Rightarrow \ \log \exp A = A
2. \| A - I \| < 1 \ \Rightarrow \ \exp \log A = A
3. \| X - I \| < 1  で連続
結論
\| X \| < \log 2 上で単射かつ双連続

注意
\| X \| < \log 2 のとき，
\Big \| \exp X - I \Big \| = \Big \| \sum_{m=1}^\infty \frac{1}{m !}X^m \Big \| \leq \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{m !} \| X \|^m = \exp \| X \| - 1
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最終更新：2011年09月27日 15:39
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