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行列の直和

正方行列の直和
x \in \mathbb{R}^n, y \in \mathbb{R}^m
A,S \in {\rm Mat(n)}, B,T \in {\rm Mat}(m)
v := \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}
M := A \oplus B := \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}

以下の計算が成り立つ。
1. Mv = \begin{pmatrix} Ax \\ By \end{pmatrix}
2. \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} S & 0 \\ 0 & T \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} AS & 0 \\ 0 & BT \end{pmatrix} あるいは (A \oplus B)(S \oplus T) = (AS \oplus BT)

つまり，作用させるベクトルは全く別々に扱って良いということ。
系として以下のようなことが分かる。これらはJordan標準形の議論で必要になる。
3. (A \oplus B)^{-1} = A^{-1} \oplus B^{-1}
4.  P^{-1}AP=\Lambda, \ Q^{-1}BQ=M \quad \Rightarrow \quad (P \oplus Q)^{-1} (A \oplus B) (P \oplus Q) = \Lambda \oplus M

また，種々の汎関数に対しても以下が成り立つ。
5. {\rm Tr} A \oplus B = {\rm Tr} A + {\rm Tr}B
6. {\rm det} A \oplus B = {\rm det} A \, {\rm det}B

定数係数ODEの議論にあっては，Jordan標準形と併せて以下が重要
7. (A \oplus B)^n = A^n \oplus B^n
8. e^{A \oplus B} = e^A \oplus e^B
9. e^{P A P^{-1}} = P e^A P^{-1} ←直和とは関係ないけど
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最終更新：2009年08月23日 21:43
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