nopu@wiki
nopu@wiki

行列式

Def. 行列式
 A := [\mathbf{a}_1  \; \cdots \; \mathbf{a}_n] \in \mathbb{R}^{N \times N}
| \dot | : \mathbb{R}^{N \times N} \to \mathbb{R}
|A|がAの行列式であるとは，次が成り立つことをいう。
1. |\cdots \; \mathbf{a}_i  \; \cdots \; \mathbf{a}_j \; \cdots| = -|\cdots \; \mathbf{a}_j  \; \cdots \; \mathbf{a}_i \; \cdots|
2. |\cdots \; \lambda \mathbf{a}_i + \mu \mathbf{b}_i \; \cdots| = \lambda |\cdots \; \mathbf{a}_i \; \cdots| + \mu |\cdots \; \mathbf{b}_i \; \cdots|
3. |\mathbb{I}|=1

Th. 
上の条件を満たす関数は唯一定まり，以下で与えられる。
|A| = \sum_{\sigma \in \mathcal{S}_N} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{1 \sigma(1)} \cdots a_{N \sigma(N)}
ここで，SNはN次対称群。
すなわち，N次置換群の全体。
あるいは，有限集合Nの全単射の全体。

Th. 
行列式の公理のうち，(1)と(2)を満たす関数f(A)に対して，以下が成り立つ。
f(A) = |A| f(\mathbb{I})

Th. 
行列式は転置をとっても同じ
|A^\mathrm{T}|=|A|
積の行列式は，行列式の積にできる。
|AB|=|A||B|

Def. cofactors; 余因子
行列Aのi行とj列を潰して得られる行列を\widetilde{a}_{ij}とする。
Aの余因子Δijとは，次で定義される行列式である。
\Delta_{ij} := (-1)^{i+j} \widetilde{a}_{ij}
各成分を余因子にもつ行列を，余因子行列（adjoint）といい，adj A と書く。
\left( \mathrm{adj} A \right)_{ij} := \Delta_{ij}

Th. 余因子展開
行列Aの余因子（cofactors）Δijを用いて，行列式|A|は以下のように展開できる。
展開は行ごと，或いは列ごとに行われることに注意する。（つまり和は１つだけとる。）
|A| = \sum_j a_{ij} \Delta_{ij} = \sum_i a_{ij} \Delta_{ij}

Th. 余因子行列と逆行列の関係
\frac{ \left( \mathrm{adj} A \right)^\mathrm{T} }{ |A| } = A^{-1}
「行列式」をウィキ内検索
最終更新：2009年07月21日 18:52
ツールボックス

下から選んでください:

新しいページを作成する
ヘルプ / FAQ もご覧ください。