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解析力学

Euler-Lagrange equation 

Lの変数としては，qとq'という表記は区別される。
一方，qとq'の方程式になってしまったら，後はq'をqの時間微分とみなければならない。

Def. 一般化座標
考えている空間座標を変換して得られるもの。
q_k := q_k(x;t)
\dot{q_k} := \sum_{i=1}^{3N} \frac{\partial q_k}{\partial x_i} \dot{x}_i + \frac{\partial q_k}{\partial t} = \dot{q_k}(x;\dot{x};t)

Prop. 
\frac{\partial \dot{q}_k}{\partial \dot{x}_i} = \frac{\partial q_k}{\partial x_i}

Def. Lagrangian
L(q,\dot{q};t) := T(\dot{q}) - V(q)

Def. Euler-Lagrange equation
\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q} = 0
一般化運動量 p_k := \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}
一般化力 F_k := \frac{\partial L}{\partial q_k}

Prop. EL eq.は変数変換で form invariant
s_k := s_k(q,\dot{q};t)
L[q,\dot{q}] \Rightarrow L[s,\dot{s}]

Hamilton's equation 

Def. Hamiltonian
一般化運動量の定義式に基づき，Lのq'をpにLegendre変換して得られる式。
H(q,p;t) := \sum_k p_k \dot{q}_k-L
where p_k := \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k}

Def. Canonical equation

Poisson bracket

Canonical transformation

Hamilton-Jacobi's equation

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最終更新：2009年07月28日 09:53
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