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重積分の変数変換

Prop. 線形変換
f \in L^1(\mathbb{R}^d)
A \in GL(d,\mathbb{R}), \ b \in \mathbb{R}
このとき，f(Ax+b) は可積分で，
\int f(Ax+b) dx = \frac{1}{| \det A |}\int f(x) dx

Ex. 畳み込みのFourier変換
\mathcal{F}[f * g](\mathbf{k}) = \int_{\mathbb{R}^n} \left( \int_{\mathbb{R}^n} f(\mathbf{x}-\mathbf{y})g(\mathbf{y})d\mathbf{y} \right) e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} } \, d\mathbf{x}
適当な可積分条件の下でFubiniの定理を使って，
 = \int_{\mathbb{R}^{2n}} \underbrace{f(\mathbf{x}-\mathbf{y})g(\mathbf{y}) e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} }}_{h(\mathbf{x},\mathbf{y})} (d\mathbf{x} \times d\mathbf{y})
ここで，次の変数変換を考える。
\begin{cases} \mathbf{x}-\mathbf{y} = \mathbf{u} \\ \mathbf{y} = \mathbf{v} \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \mathbf{x} = \mathbf{u}+\mathbf{v} \\ \mathbf{y} = \mathbf{v} \end{cases}
 \begin{pmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \end{pmatrix} =: \underbrace{\begin{pmatrix} I & I \\ O & I \end{pmatrix}}_{A} \ \begin{pmatrix} \mathbf{u} \\ \mathbf{v} \end{pmatrix} 
変数変換公式によって，
 = \frac{1}{\det |A|}\int_{\mathbb{R}^{2n}} h( A(\mathbf{u},\mathbf{v}) ) (d\mathbf{u} \times d\mathbf{v})
 = \int_{\mathbb{R}^{2n}} f(\mathbf{u})g(\mathbf{v})e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{(u+v)}} (d\mathbf{u} \times d\mathbf{v})
再びFubiniを使って，
 = \int_{\mathbb{R}^{n}} f(\mathbf{u})e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{u}} d\mathbf{u} \int_{\mathbb{R}^{n}} g(\mathbf{v})e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{v}} d\mathbf{v} = \mathcal{F}[f] \mathcal{F}[g]

Prop. 変数変換
U,V \subset \mathbb{R}^d \mbox{ : open }
\Phi : U \to V \mbox{ C^1-diffeo. }
f:V \to \overline{\mathbb{R}^d}
(f \circ \Phi)|\det D \Phi| \in L^1(U)
\Rightarrow \int_{\Phi(U)} f(y)dy = \int_U f(\Phi(x)) |\det D \Phi(x)| dx

Ex. 極座標に変換
\Phi:\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R} \ni (r,\phi) \mapsto (r \cos \phi, r \sin \phi) \in \mathbb{R}^2
D \Phi = \begin{pmatrix} \cos \phi & \sin \phi \\ -r \sin \phi & r cos \phi\end{pmatrix}
\therefore | \det D \Phi | = r
\int_{\Phi(U)} f(x,y)dxdy = \int_U f(\Phi(r,\phi)) r dr d\phi
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最終更新：2009年08月29日 11:34
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