量子化された調和振動子の問題に関連してメモ
調和振動子の古典的な力学的エネルギーこれは次の２つに分解できる。即ち，E = T + V であって， 運動エネルギー T = (1/2m)p^2 位置エネルギー V = (k/2)x^2
正準量子化（以下ではエッチバーとしてhを用いる）
※ ハミルトニアンは力学的エネルギーを与える演算子であり， ハミルトニアンの固有方程式をシュレーディンガー方程式という。
Hの固有方程式（シュレーディンガー方程式）
１次元の調和振動子の問題では，適当な変数変換で以下に帰着できる。
これを解くには以下のような常套手段をとる。 まず|ψ|→∞の極限を考えることにより，極限の方程式を得て，その解として
を得るが，規格化条件からA=0が要請されて，結局ψ∝e^(-x^2)を得る。 これが元の方程式の解の極限となっていることを想定して，解の形を次のように仮定する。
これはx=0で正則な変数係数常微分方程式であるから，以下のような級数解が存在する。
※ 変数係数方程式が正則であるとは，各kに対して，変数係数p(x)k が解析的であることをいう。 ここで f(x) が x=a で解析的であるとは，aの適当な近傍において，f(x)が級数展開できることをいう。即ち，
φをエルミート方程式に代入して，A_n についての漸化式を得る。 A_(n+2) = ( nの多項式 ) A_n A_0, A_1 は任意 ところが，φを無限級数とすると，φはe^(x^2)のオーダーとなってしまって，規格化条件を満たさない（ψ→0とならない）。 ψが収束するためには，φが有限次多項式となればよく，A_n の構造から， α:偶数 かつ A_1 = 0 あるいは α:奇数 かつ A_0 = 0 が必要十分条件になる。こうして得られる多項式をエルミート多項式という。 整数係数となるように A_0 または A_1 を調整すると，となる。αの条件をEの条件に読み替えて， 固有値 E_n = n + 1/2 固有関数 ψ_n = H_n e^(-x^2) ただし，n≧0 を得る。（正規化は省略）
