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閉，コンパクト，完備

点列による閉集合や連続の取り扱いは距離空間・ノルム空間で頻出

収束部分列　→　コンパクト
収束列　→　閉
Cauchy列　→　完備

完備は距離空間上の概念

Rⁿにおいて

Rnの距離
通常はユークリッドノルムから誘導された距離 d:=d2 を考える。
これは、標準内積から誘導されたノルムである。
　標準内積　→　ユークリッドノルム　→　ユークリッド距離関数

ユークリッドノルムは、以下のlpノルムにおいて、p=2の場合に相当する。

lpから定まる距離関数をdpとかく。
　Rnにおいては、どの距離関数による収束も同値である。

定理（Heine-Borel, or Borel-Lebesgueの被覆定理）
Rnにおいて以下は同値
1. Aが有界閉集合（⇒最大値・最小値を持つ）
2. Aは点列コンパクト（Aの任意の点列は収束部分列を持つ）
3. Aはコンパクト（Aの任意の開被覆は有限部分被覆を持つ；Heine-Borelの条件）

有界閉⇒コンパクトを特にHeine-Borelの被覆定理という。
有界⇒点列コンパクトはBolzano-Weierstrassの定理である。

定理（dp収束の同値性） Rnの点列の収束性は、任意のlpノルムで変わらない。1≦p≦∞
定理（点列の収束） 有限次元ベクトルの数列の収束について以下は同値
距離空間の元としての収束
　d(xn,x)→0
成分毎の収束
　各i：|xin,xi|→0

定理（点列連続） f:Rm⊃Ω→Rn 連続写像 について，以下が成り立つ。
Ωのaに収束する任意の点列{xn}について，lim f(xn)=f(a)
逆に，この条件が成り立つときfは連続写像である。

定理 f:Rm⊃Ω→Rnについて，
f連続かつ Ωコンパクト　⇒　f一様連続

定理（最大値・最小値の定理）
f:Rm⊃Ω→R 連続関数 について，
Ωがコンパクト ⇒ f(Ω)はコンパクト ⇒ fは最大値・最小値を持つ。
コンパクト性は連続写像で保たれる事実の系である。

定義（コンパクトサポート）
関数fのサポート（台）とは，fの定義域Dの部分集合Sとして，
fが0にならないDの点の全体Sの閉包S-として与えられる。
要するに，1/fとかlog|f|とかを考えても困らないように制限された定義域である。
サポートがコンパクトであるとは，（元の定義域がRnのとき）有界閉であることを要請している。