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関数解析

Banachで成り立つ定理の中には，Normed まで条件を緩められるものもあることに注意！

作用素

作用素
単に集合Aから集合Bへの写像のこと（増田本）

線形作用素
X,Yはノルム空間（必ずしも完備でなくてよい）とする。
ただし，慣習により線形作用素 T:X→Y の定義域D(T)は必ずしもX全域を指さない。

連続作用素
各点で点列連続であること。（第一可算公理を満たせば，連続⇔点列連続であることに注意。）
i.e. 任意の点列xn→xに対し，Txn→Tx となること。
定理によって，線形作用素が一様連続であることは有界線形であることと同値なので，専ら有界の呼称が使われる。

有界線形作用素 

以下を満たすノルム空間からノルム空間への線形作用素をいう。
X,Y：Normed Sp.
T:X \to Y
\| Tx \|_Y \leq {}^\exists C \| x \|_X \mbox{ for all }x \in X
\Leftrightarrow \| x \| \leq 1 \Rightarrow \| Tx \| \textrm{ : bounded}

Th. 線形作用素Tに対し，以下は同値
1. 有界 \| Tx \|_Y \leq {}^\exists C \| x \|_X \mbox{ for all }x \in X
2. Lipschitz連続  \| Ty - Tx \|_Y \leq {}^\exists L \| y-x \|_X
3. 原点で連続 {}^\forall \{ x_n \}_{n=1}^\infty \quad \lim_{n \to \infty} \| x_n \|_X = 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty }\| Tx_n \| = 0

Prop. BLOの拡張
X：Normed Sp.
E⊂X：dense in X
Y：Banach Sp.
このとき，有界線形作用素 T:E→Y は，連続性を保ったまま X に一意拡張できる。

作用素ノルム
有界線形作用素に対して定義される。（有界でなければノルム∞で意味を為さない。）
T:X→Y; BLO
\| T \| := \sup_{x \in X, \ 0 \neq x} \frac{\| Tx \|_Y}{\|x\|_X} = \sup_{x \in X, \ \|x\|_X=1} \| Tx \|_Y

Prop. 
 \|Tx\|_Y \leq \|T\| \|x\|_X \mbox{ for all }x \in X

Banach-Steinhaus？

V,W; Banach Sp.
T:V→W; 線形
このとき，
T:有界⇔T:連続

作用素ノルム

\| T \| := \sup_{ \| x \| = 1} \| Tx \|

Rieszの表現定理

いろんな人が様々なバージョンを証明している。

Th. Lp Sp.
1<p<∞
{}^\forall \phi \in L^{p*} {}^{\exists !} u \in L^q 
\mbox{s.t. } \langle \phi, f \rangle =: \phi(f) = \int fu dx
さらに，\|u\|_q=\|\phi\|_{p*}
φは等距離・全射・有界・線形作用素であることが示され，
これによって L^{p*} \cong L^q が分かる。

Rem. 
L^{1*} \cong L^\infty だが，L^{\infty*} \supset L^1

Th. Hilbert Sp.
H：Hilbert Sp.
H*：Dual Sp. of H
{}^\forall \phi \in H^* \, {}^{\exists !} f \in H \mbox{ s.t. }
1. \langle \phi, v\rangle = (f,v) \quad {}^\forall v \in H
2. |f| = \| \phi \|_{H^*}
  where, \langle \phi, f\rangle := \phi(f)

Lax-Milgram

Def. 双線形形式
a(u,v):H×H→Rが
連続とは，
{}^\exists C \, {}^\forall u,v \in H \mbox{ s.t. } |a(u,v)| \leq C |u||v|
強圧的とは，
{}^\exists \alpha>0 \, {}^\forall \mbox{ s.t. } a(u,u) \geq \alpha |u|^2

Th. Lax-Milgram
a(u,v)は連続・強圧的な双線形形式とする。
{}^\foarll \phi \in H^* \, {}^{\exists !} u \in H \mbox{ s.t. }
a(u,v) = \langle \phi, v \rangle \quad {}^\forall v \in H
さらに，aが対称ならば，uは以下の性質（右辺の関数を最小化するHの元）をもつ。
u = \arg \min_{v \in H} \left \{ \frac{1}{2} a(v,v)-\langle \phi, v\rangle \right \}
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最終更新：2009年08月18日 01:07
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