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関数解析の諸定理

Arzela-Ascoliの定理 

数列におけるBolzano-Weierstrassの定理（有界数列は収束部分列を含む）の，関数列版に相当する。
Cauchyの折れ線近似を証明するのに使う。
証明は対角線論法による。

Th. Arzela-Ascoli
I \subset \mathbb{R} \mbox{ : bounded closed interval}
f_n : I \to \mathbb{R} \mbox{ or } \mathbb{C}
 \{ f_n \}_{n=1}^\infty が一様有界かつ同等連続のとき，一様収束する部分列がとれる。


ここで，
Def.一様有界
\ ^\exists M \ ^\forall n \ ^\forall x \in I \mbox{ s.t. } |f_n(x)| \leq M
あるいは，
\ ^\exists M \ ^\forall n \ \mbox{ s.t. } \sup_{x \in I}|f_n(x)| \leq M

Def.同等連続
\ ^\forall \epsilon >0 \ ^\exists \delta >0 \ ^\forall n \mbox{ s.t.}
|x-y| < \delta \Rightarrow |f_n(x)-f_n(y)|<\epsilon

注. Riemann積分と極限の交換に関するArzelaの定理とは別物
Th. Arzela
f_n \in C(\overline{I})
fnが一様有界かつ，各点収束ならば，
極限と積分の交換が可能である。即ち，
\lim_{n \to \infty}(R)\int_I f_n(x)dx = (R)\int_I \lim_{n \to \infty}f_n(x)dx
これはLebesgueの項別積分定理の特殊系である。

Weierstrass の多項式近似定理 

「近似」なので，Taylor展開よりも強力なことを言っている。
三角多項式全体は C(T) で稠密
多項式全体は C[0,1] で稠密
従って特に，それぞれ Lp (1≦p＜無限)で稠密
ただし，TはR/Z= [0,1]の0と1を同一視した集合

Stone-Weierstrassの定理 

多項式近似定理の抽象化

Baire's Category

Banach-Steinhausの定理（一様有界性定理）

閉グラフ定理

開写像定理

Hahn-Banachの定理 

(次元を削った)部分空間上で定義されていたら，もとの空間に上手いこと拡張できる。

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最終更新：2009年08月07日 18:39
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