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Fourier級数からLaplace変換

直交関数系

\mathcal{F} := \{ f(t) | {}^\exists T>0 \mbox{ s.t. } f(t+T)=f(t) \}
(f,g) := \frac{2}{T} \int_0^T f(t)g(t) \; dt

Th. 周期関数空間の正規直交基底
\mathcal{S} := \{ \frac{1}{\sqrt{2}}, \cos n \omega t, \sin n \omega t | n \in \mathbb{N}\}
where, \omega \mbox{ := } \frac{2 \pi}{T}
Sは内積空間(F,(・,・))の正規直交系基底

 i.e.
{}^\forall f(t) \in \mathcal{F}
\begin{cases} a_0 & := (f(t),\frac{1}{\sqrt{2}}) \\ a_n & := (f(t),\cos n \omega t) \\ b_n & := (f(t),\sin n \omega t) \end{cases}
\Rightarrow f(t) \sim \frac{a_0}{\sqrt{2}} + \sum_{n=1}^\infty (a_n cos n \omega t + b_n sin n \omega t)

注：通常は，1/√2を含めてしまって，
a_0' := (f(t),\frac{1}{2})
とする。

Def. 用語
直流成分，バイアス： a_0 
基本波： a_1 \cos \omega t + b_1 \sin \omega t 　←こいつで音階が決まる。
高調波： \sum_{n=2}^\infty (a_n cos n \omega t + b_n sin n \omega t)  

Cor. 複素Fourier級数
\begin{cases} c_0 & := a_0 \\ c_n  & := \frac{a_n - j b_n}{2} \\ c_{-n} & := \frac{a_n + j b_n}{2}\end{cases}
\Rightarrow f(t) \sim \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{j n \omega t}

Rem. 
上の系は，Fに次の複素内積を入れたときの正規直交基底が，指数関数系S'であることを示している。
\langle f,g\rangle := \frac{1}{T} \int_0^T f(t)\overline{g(t)} \, dt
\mathcal{S}' := \{ e^{jn \omega t} | n \in \mathbb{Z}\}
c_n := \langle f(t), e^{jn \omega t}\rangle

Th. 反転公式（と，その極限）
f(t) \sim \sum_{n=-\infty}^\infty \langle f(t), e^{jn \omega t}\rangle e^{jn \omega t}
  = \frac{1}{2 \pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-jn \omega t} \; dt \; e^{jn \omega t} \; \omega 
  \to \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-j \omega t} \; dt \; e^{j \omega t} \; d\omega  \mbox{ as } T \to \infty (\omega \to 0)

Fourier変換

Def. Fourier transform, Fourier inverse transform
\mathfrak{F}[f(t)](j\omega) := \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-j \omega t} \;dt
\mathfrak{F}^{-1}[F(j\omega)](t) := \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{-\infty}^\infty F(j\omega) e^{j \omega t} \;d\omega

Prop.
\mathfrak{F}[af(t)+bg(t)] = a \mathfrak{F}[f(t)] + b \mathfrak{F}[g(t)]
\lim_{t \to \pm \infty}f(t)=0 \Rightarrow \mathfrak{F}[\frac{df(t)}{dt}] = j\omega \mathfrak{F}[f(t)]
\lim_{t \to \pm \infty} \int_{-\infty}^t f(\tau) \; d\tau =0 \Rightarrow \mathfrak{F}[\int_{-\infty}^t f(\tau) \; d\tau] = \frac{1}{j \omega}\mathfrak{F}[f(t)]
\mathfrac{F}[f(t)*g(t)] = \sqrt{2 \pi} \mathfrak{F}[f(t)] \mathfrak{F}[g(t)]
where, f(t)*g(t) := \int_{-\infty}^\infty f(\tau)g(t-\tau) \; d\tau
\mathfrak{F}[f(at)] = \frac{1}{|a|} \mathfrak{F}[f(t)](\frac{j\omega}{a})

Laplace変換

F変換は，変換が収束する関数が少ない！

Def. 因果性信号
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}; \mbox{ } f(t)=0 \mbox{ for } t<0

Prop. 因果性の条件
インパルス応答g(t)が因果性信号になるとき，そしてこのときに限り，系は過去と現在の入力にのみ依存する。

Th. Laplace transform
|f(t)| \leq M e^{at} \mbox{ for } {}^\exists M>0, {}^\exists a \in \mathbb{R}
\mathfrak{L}[f(t)] := \int_0^\infty f(t)e^{-st} \;dt
  \Re[s]>a \Rightarrow |\mathfrak{L}[f(t)]|<\infty

Prop.
線形性 \mathfrak{L}[af(t)+bg(t)] = a\mathfrak{L}[f(t)]+b\mathfrak{L}[g(t)]
微分 \mathfrak{L}[\frac{df(t)}{dt}] = s \mathfrak{L}[f(t)] - f(0)
積分 \mathfrak{L}[\int_0^t f(\tau) \; d\tau] = \frac{1}{s}\mathfrak{L}[f(t)]
s領域シフト \mathfrak{L}[e^{at} f(t)] = \mathfrak{L}[f(t)](s-a)
むだ時間 \mathfrak{L}[f(t-a)] = e^{-at} \mathfrak{L}[f(t)]
初期値定理 \lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty} s\mathfrak{L}[f(t)](s)
最終値定理 \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} s\mathfrak{L}[f(t)](s)
畳み込み \mathfrak{L}[\int_0^t f(t-\tau)g(\tau) \; d\tau] = \mathfrak{L}[f(t)]\mathfrak{L}[g(t)]
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最終更新：2009年07月21日 16:57
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