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Fubiniの定理

重積分と逐次積分が一致するための条件
 \int_X \int_Y f dydx = \int_Y \int_X f dxdy = \iint_{X \times Y} f dxdy  ※

Th. Tonelli
1. 可測性から可積分性を導く。
2. 正値関数に対する積分の順序交換
Fubiniの前段として，fの可積分性 f \in L(X \times Y) を示すのに使う。

X \subset \mathbb{R}^n, Y \subset \mathbb{R}^m
f(x,y):X \times Y \to \mathbb{R} 可測
このとき，以下のいずれかが有限ならば，
 \int_X \int_Y |f| dydx 
 \int_Y \int_X |f| dxdy 
 \iint_{X \times Y} |f| dxdy 
fは可積分 f \in L(X \times Y)で，積分の順序交換(※)が成立する。

注. [柴田]では，正値関数 f \geq 0 に対してこの定理を示している。
ここでは便宜を図り，絶対値をとった形を入れることで必ずしも正値でない関数の可積分性に拡張している。

Th. Fubini
fがX×Yで可積分とする。
f \in L(X \times Y)
このとき，xを固定して得られる関数f(x,y)はa.e.xに対してY可積分。
g_{x_0}(y) := f(x_0,y) \in L(Y) \quad \mbox{a.e. }x
また，yを固定した場合も同様
h_{y_0}(x) := f(x,y_0) \in L(X) \quad \mbox{a.e. }y

従ってx,yの片方だけ積分して定義される関数はそれぞれ可積分で，
\int_X f(x,y) dx \in L(Y)
\int_Y f(x,y) dy \in L(X)
重積分と累次積分の変換(※)が成立する。

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最終更新：2010年05月18日 22:33
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