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Radon-Nikodym と Lebesgue微分

Riemann積分の場合

1. 不定積分の導関数は被積分関数に一致する。
2. 導関数が連続ならば，その積分はもとの関数に一致する。

Lebesgueの微分定理

まずLebesgue積分の場合

Vitaliの被覆定理
Rdの集合族νが，Rdの集合EをVitaliの意味で被覆するとは，次が成り立つことをいう。
{}^\forall x \in E \ {}^\forall \epsilon>0 \ {}^\exists V \in \mathcal{V} \quad \mbox{ s.t. } \quad x \in V, \ \sup_{x,y \in V}|x-y|<\epsilon
m*(E)<∞ のとき，閉球（開球・閉立方体・開立方体でもおｋ）からなるEのVitali被覆νをとると，
νから非交可算列{Vn}を取り出すことができて，次を満たす。
m^* \left( E \setminus \bigcup_{n=1}^\infty V_n \right) = 0

Hardy-Littlewoodの極大定理
f \in L^p(\mathbb{R}^N)
fに対して定義される次の関数をHardy-Littlewoodの極大関数という。
M_f(x) := \sup_{r>0}\frac{1}{\mu (B(x,r)) }\int_{B(x,r)}|f(y)|dy
Mf(x)は可測関数であり，f,a,pに依らない定数Cがあって以下の不等式が成り立つ。
1. p=1 のとき
{}^\forall a>0 \quad \mu \{ x | M_f(x)>a \} \leq \frac{C}{a} \| f \|_{L^1(\mathbb{R}^N)}
2. 1<p<∞, 1/q+1/p=1
\| M_f \|_{L^p(\mathbb{R}^N)} \leq 2 C q \\| f \|_{L^p(\mathbb{R}^N)}

Lebesgueの微分定理
f \in L^1(\mathbb{R}^N)
\lim_{r \to 0} \frac{1}{\mu (B(x,r))} \int_{B(x,r)} f(y) dy = f(x) a.e.
where, B(x,r) := \{ y \in X | d(x,y) < r \}

Def. Lebesgue点
以下を満たすxをfのLebesgue点という。
\lim_{r \to 0} \frac{1}{\mu (B(x,r))} \int_{B(x,r)} |f(y)-f(x)| dy = 0
f \in L^1(\mathbb{R}^d)に対しては，ほとんど全ての点はL点である。

Radon-Nikodym微分

より一般の測度に拡張された微分

Th. Radon-Nikodymの定理
絶対連続な測度が、適当な関数の積分として書けるための条件（σ有限ならok）
定義（絶対連続）
\nu << \mu \Leftrightarrow \mu(E)=0 \Rightarrow \nu(E)=0
定理（Radon-Nikodym）
M上のσ有限測度が絶対連続 ν<<μ の関係にあるとき，ある非負値L1関数があって、
\nu(E) = \int_E f \, d\mu
この f を RN導関数という。
\frac{d \nu}{d \mu} := f

つまり，RN微分の正体は（非負値）可積分関数

Cf. 絶対連続関数
いわゆる不定積分 F(x) := \int_a^x fdx は絶対連続関数であり，
逆に任意の絶対連続関数は適当な可積分関数の不定積分である。 ←RN定理との類似

Rem. 積分の絶対連続性
{}^\forall f \in L(X) \ {}^\forall \epsilon>0 \ {}^\exists \delta>0 \ {}^\forall A \in \mathcal{M} \quad \mbox{ s.t. } \quad \mu(A)<\delta \Rightarrow \int_A f d \mu < \epsilon
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最終更新：2009年08月26日 23:31
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