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Sobolevの埋め込み定理

弱解（内積で表現された弱方程式の解）の正則性を示すのに使う。
つまり，微分可能性とか連続性とか。
C∞ぐらい分かったら嬉しい。

内積の同値性を示すことも，状況（方程式の形）に応じて使い分けることができて嬉しい。

Lem. Hölderの系
Ω⊂Rd, 1≦p≦q≦∞
このときL^q(\Omega) \subset L^p(\Omega)で，以下が成り立つ
\frac{\| f \|_p}{|\Omega|^\frac{1}{p}} \leq \frac{\| f \|_q}{|\Omega|^\frac{1}{q}}

Th. Sobolevの埋め込み定理
Ω⊂Rd：Bounded Open subset
1≦p<∞ f \in H^{1,p}_0(\Omega)に対し，\frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{1}{d}として，以下が成り立つ。
p<dのとき
f \in L^q(\Omega)
\| f \|_q \leq C \| \nabla f \|_p
p>dのとき
f \in C(\overline{\Omega})
\| f \|_C \leq C \frac{1}{|\Omega|^q} \| \nabla f \|_p

Cor. Poincareの不等式
ノルムの同値性を表している。
Ω⊂Rd：Bounded Open subset
f \in H^{1,2}_0 (\Omega)(p=2)に対し，
\| f \|_{L^2} \leq C |\Omega|^\frac{1}{d} \| \nabla f \|_{L^2}

Th. Relich-Kondrachovのコンパクト性定理
Ω⊂Rd：Bounded Open subset
p,d; 1≦q が以下を満たすとする。
\frac{1}{p} \leq \frac{1}{d} \mbox{ or } \frac{1}{d} < \frac{1}{p} < \frac{1}{q} + \frac{1}{d}
このとき，次のコンパクト埋め込みが存在する。
i:H_0^{1,p}(\Omega) \hookrightarrow L^q(\Omega)
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最終更新：2009年08月19日 00:52
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