Taylor展開

関数列の一様収束も参照のこと
平均値の定理の拡張

一変数版

Th. 閉区間上のC^r級関数は，r階微分係数の多項式として近似できる。
←多変数版では「領域」で条件付けられているが良いのか？

$f : [a,a+h] \rightarrow \mathbb{R} \textrm{ : } C^r \textrm{-function}$

$f(a+h) = \sum_{k=0}^{r-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} h^k + R_r$

但しR_rは剰余項。この定理は平均値の定理の拡張である。

$R_r = \frac{f^{(r)}(c)}{r!} h^r \textrm{ for } ^\exists c \in (a,a+h)$

特に，cは以下のような変数変換をして扱うことも多い。

$c = a + \theta h \ (0 < \theta < 1)$

Ex. 不連続関数はTaylor展開できない。
ステップ関数とか

Th. 領域上のC^r級関数は，r階微分係数の多項式として近似できる。

$D \subset \mathbb{R}^n \textrm{ : Domain}$

$f : D \to \mathbb{R} \textrm{ : } C^r \textrm{-function}$

$f(\mathbf{a+h}) = \sum_{k=0}^{r-1}\frac{1}{k!}\partial^k f(\mathbf{a}) + \frac{1}{r!} \partial^r f(\mathbf{a} + \theta\mathbf{h})$

$\textrm{for } 0 < ^\exists\theta < 1$

但し∂^kは次で定義される（hとxに依存する）。

$\partial^k := \left(\sum_{i=1}^{n} \, h_i\frac{\partial}{\partial x_i}\right)^k$

証明は一変数からできる。Wikipedia(偏微分：多変数の平均値定理・テイラーの定理)を参照。

最終更新：2009年08月18日 23:01

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