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grad,div,rot

Stokesの基本思想 

境界付き多様体Mに対し，
\int_{\partial M} \omega = \int_M d \omega

外微分を計算するのは楽だから，左辺→右辺のが楽

以下で見るように，微積分学の基本定理の拡張になっている。

微分形式の外微分 

formの外微分としてgrad,div,rotが出てくる。
以下はR3の場合。以下の記号を用いる。
f,g,h : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} function
\mathbf{A} := (f,g,h) : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3
d \mathbf{l} := (dx,dy,dz)
d \mathbf{S} := (dy \wedge dz, dz \wedge dx, dx \wedge dy)
d V := dx \wedge dy \wedge dz

grad
0-form（関数）の外微分
df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz
 = \nabla f \cdot (dx,dy,dz)
 = {\rm grad } f \cdot d \mathbf{l}

rot
1-form の外微分
d(\mathbf{A} \cdot d\mathbf{l})
 = d(f dx + g dy + h dz)
 = \left( \frac{\partial h}{\partial y} - \frac{\partial g}{\partial z} \right ) dy \wedge dz +\left( \frac{\partial f}{\partial z} - \frac{\partial h}{\partial x} \right ) dz \wedge dx +\left( \frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} \right ) dx \wedge dy
 = \nabla \times \mathbf{A} \cdot (dy \wedge dz, dz \wedge dx, dx \wedge dy)
 = {\rm rot} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{S}

div
2-formの外微分
d( \mathbf{A} \cdot d \mathbf{S} )
 = d( f dy\wedge dz + g dz \wedge dx + h dx \wedge dy)
 = (\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial h}{\partial z}) dx \wedge dy \wedge dz
 = \nabla \cdot \mathbf{A} dx \wedge dy \wedge dz 
 = {\rm div} \mathbf{A} dV

諸定理 

一応，次元に注意すること。

Th. 微積分学の基本定理
n次元で成り立つ。
\int_C \nabla f \cdot d \mathbf{l} = \int_C d(f) = \int_\alpha^\beta df = f(\beta)-f(\alpha)

Th. Stokes
\int_S \nabla \times \mathbf{A} \cdot d \mathbf{S} = \int_S d\left( \mathbf{A} \cdot d \mathbf{l} \right) = \int_{\partial S} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{l}

Th. Gauss
\int_V \nabla \cdot \mathbf{A} dV = \int_V d \left( \mathbf{A} \cdot d \mathbf{S} \right) = \int_{\partial V} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{S}
Cor. Green
\int_V (\phi \nabla^2 \psi + \nabla \phi \cdot \nabla \psi)dV = \int_V \nabla \cdot \left( \phi \nabla \psi\right) dV = \int_{\partial V} \phi \nabla \psi \cdot d \mathbf{S} = \int_{\partial V} \phi \frac{\partial \psi}{\partial n} dS
\int_V (\phi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \phi)dV = \int_{\partial V} \left( \phi \nabla \psi - \psi \nabla \phi \right) \cdot d \mathbf{S} = \int_{\partial V} \left( \phi \frac{\partial \psi}{\partial n} - \psi \frac{\partial \phi}{\partial n} \right) dS

Th. 平面のGreen
\int_{\partial D} fdx + gdy = \int_D \left( \frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}\right) dxdy
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最終更新：2009年08月23日 14:19
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